[论文解读] Matching Book Embedding of the Cartesian Product of a Complete Graph and a Cycle

Zeling Shao, Yanqing Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2020

Algorithms and Data Compression参考文献 6被引用 9

一句话总结

本文确定了当 $p,q \geq 3$ 时，笛卡尔积 $K_p \Box C_q$ 的匹配书厚度，证明了 $mbt(K_p \Box C_q) = \Delta(K_p \Box C_q) + 1$。作者通过基于 $p$ 和 $q$ 奇偶性的案例分析，利用顶点排序与边在各页上的布局，避免交叉，同时确保每个顶点在每一页上的度数至多为一，对奇数和偶数的完全图与环提供了显式构造。

ABSTRACT

The $book$ $embedding$ of a graph $G$ is to place the vertices of $G$ on the spine and draw the edges to the pages so that the edges in the same page do not cross with each other. The book embedding is $matching$ if the pages have maximum degree $1$. The $matching$ $book$ $thickness$ is the minimum number of pages in which graphs can be matching book embedded. In this paper, we show that the matching book thickness of the Cartesian product $K_p\Box C_q$of a complete graph $K_p$ and a cycle $C_q$ is equal to $Δ(K_p\Box C_q)+1$.

研究动机与目标

• 确定完全图 $K_p$ 与环 $C_q$ 的笛卡尔积 $K_p \Box C_q$ 的匹配书厚度。
• 解决关于 $mbt(K_p \Box C_q) = \Delta(K_p \Box C_q) + 1$ 是否对所有 $p,q \geq 3$ 成立的开放问题。
• 为 $p$ 和 $q$ 的所有奇偶性组合提供显式的匹配书嵌入，确保各页内无边交叉。

提出的方法

• 通过行和列遍历方式构建 $K_p \Box C_q$ 中顶点的脊柱排序，采用一种在行之间交替并尊重循环对称性的特定序列。
• 根据列索引之和模 $2n+1$ 或 $2n$ 的结果，将边分配到各页，确保来自同一行的边被分散到不同页面，以避免度数冲突。
• 采用递归且对称的边布局策略：每行内的边根据列索引之和分配到页面，而行间的边则根据奇偶性和相邻关系分配到专用页面。
• 利用偶数环 $C_{2m}$ 可分散的性质，并应用引理 2.5，通过 $mbt(K_p) + \Delta(C_{2m}) = mbt(K_p) + 2$ 来界定 $K_p \Box C_{2m}$ 的匹配书厚度。
• 通过 $K_p \Box C_q$ 在 $p$ 和 $q$ 均为奇数时非二分图的性质，证明下界，表明图不可分散，因此 $mbt \geq \Delta + 1$。
• 通过显式构造验证上界：对奇数 $p$ 使用 $2n+3$ 页，对偶数 $p$ 使用 $2n+2$ 页，确保所有边均无交叉地放置，且每个顶点在每一页上的度数至多为一。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p,q \geq 3$ 时，笛卡尔积 $K_p \Box C_q$ 的匹配书厚度是多少？
• RQ2 对于所有 $p,q \geq 3$，无论奇偶性如何，$mbt(K_p \Box C_q) = \Delta(K_p \Box C_q) + 1$ 是否恒成立？
• RQ3 能否为 $K_p$ 和 $C_q$ 的所有奇偶性组合构造出显式的匹配书嵌入？
• RQ4 当 $p$ 和 $q$ 均为奇数时，$K_p \Box C_q$ 的非二分图结构如何影响其匹配书厚度？

主要发现

• $K_{2n+1} \Box C_{2m+1}$ 的匹配书厚度为 $2n+3$，等于 $\Delta(K_{2n+1} \Box C_{2m+1}) + 1 = (2n+2) + 1$。
• 对于 $K_{2n} \Box C_{2m+1}$，匹配书厚度为 $2n+2$，与 $\Delta(K_{2n} \Box C_{2m+1}) + 1 = (2n+1) + 1$ 相等。
• $K_{2n} \Box C_{2m}$ 的匹配书厚度为 $2n+2$，等于 $\Delta(K_{2n} \Box C_{2m}) + 1 = (2n+1) + 1$。
• 对于 $K_{2n+1} \Box C_{2m}$，匹配书厚度为 $2n+3$，等于 $\Delta(K_{2n+1} \Box C_{2m}) + 1 = (2n+2) + 1$。
• 作者为所有四种情况提供了显式构造，验证了由非二分性得出的理论下界，以及由可分散环性质得出的上界。
• 结果确认了对所有 $p,q \geq 3$，有 $mbt(K_p \Box C_q) = \Delta(K_p \Box C_q) + 1$，解决了该图类的这一问题。