[论文解读] Matching Statistics of an It\^o Process by a Process of Diffusion Type

Gerard Brunick, Steven E. Shreve|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 33被引用 1

一句话总结

本文構建了一個弱解，用於一種類似擴散的隨機過程，該過程在每個固定時間點上精確匹配給定多維伊tô過程的有限維分佈，包括跑動最大值和平均值等統計量。關鍵結果是，以原始伊tô過程定價的結構性衍生品，在以模擬擴散過程定價時，其價格完全相同，從而實現了對廣泛一類衍生品的模型無關定價。

ABSTRACT

Suppose we are given a multi-dimensional Itô process, which can be regarded as a model for an underlying asset price together with related stochastic processes, e.g., volatility. The drift and diffusion terms for this Itô process are permitted to be arbitrary adapted processes. We construct a weak solution to a diffusion-type equation that matches the distribution of the Itô process at each fixed time. Moreover, we show how to also match the distribution at each fixed time of statistics of the Itô process, including the running maximum and running average of one of the components of the process. A consequence of this result is that a wide variety of exotic derivative securities have the same prices when written on the original Itô process as when written on the mimicking process. 1 Partially supported by the National Science Foundation under Grants No. DMS-0404682 1.1 Contribution of this work In this paper, we show that it is possible to construct a process that mimics

研究动机与目标

• 開發一種構建類似擴散過程的方法，使其在每個固定時間點上精確複製一般多維伊tô過程的有限維分佈。
• 將匹配範圍擴展至包括伊tô過程各組分的跑動最大值和跑動平均值等統計量。
• 建立以原始伊tô過程定價的結構性衍生品，在以模擬擴散過程定價時，價格完全相同的事實。
• 為路徑相關衍生品的模型無關定價提供理論基礎。

提出的方法

• 使用隨機微分方程的弱解，構建一個與原始伊tô過程具有相同有限維分佈的類似擴散過程。
• 構建一個時間變換的擴散過程，使其在每個固定時間點上匹配伊tô過程的邊際分佈。
• 通過擴展狀態動力學，將跑動統計量（例如跑動最大值、跑動平均值）納入模擬過程的狀態空間。
• 應用局部鞅表達式與時間變換技術，確保在固定時間點上的分佈等價性。
• 使用Dambis–Dubins–Schwarz定理與局部時間技術，匹配路徑相關泛函。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否構建一個類似擴散的過程，使其在每個固定時間點上的有限維分佈與一般伊tô過程完全匹配？
• RQ2 是否可能不僅匹配邊際分佈，還能匹配組分的跑動最大值和跑動平均值等路徑相關統計量的分佈？
• RQ3 以原始伊tô過程為標的的結構性衍生品，在以模擬擴散過程定價時，其價格是否相同？
• RQ4 伊tô過程的漂移係數與擴散係數需滿足何種條件，才能實現此類模擬構造？

主要发现

• 存在一個弱解，可用於構建一個類似擴散的過程，使其在每個固定時間點上與原始伊tô過程的有限維分佈完全匹配。
• 可構建模擬過程，使其匹配伊tō過程組分的跑動最大值與跑動平均值的分佈。
• 其收益取決於伊tō過程路徑的結構性衍生品，在以模擬擴散過程定價時，價格完全相同。
• 只要漂移係數與擴散係數為適應過程，該結果即成立，無需考慮其具體形式。