[论文解读] $\mathbb{B}$-valued monogenic functions and their applications to boundary value problems in displacements of 2-D Elasticity

S. V. Gryshchuk|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，利用双调和代数 𝔹 中的 𝔹-值正则函数来求解二维弹性力学边值问题。通过建立弹性平衡与满足广义柯西-黎曼条件的正则函数之间的对应关系，作者表明求解位移问题可归约为一个 (1-4)-问题，即通过函数的第一和第四实部分量的边界值来求解，从而利用积分公式和共轭调和函数显式重构应力和位移。

ABSTRACT

Consider the commutative algebra $\mathbb{B}$ over the field of complex numbers with the bases $\{e_1,e_2\}$ such that %satisfying the conditions $(e_1^2+e_2^2)^2=0$, $e_1^2+e_2^2 e 0$. %$\mathbb{B}$ is unique. Let $D$ be a domain in $xOy$, $D_ζ:=\{xe_1+ye_2:(x,y) \in D\}\subset \mathbb{B}$. We say that $\mathbb{B}$-valued function $Φ\colon D_ζ \longrightarrow \mathbb{B}$, $Φ(ζ)=U_{1}\,e_1+U_{2}\,ie_1+ U_{3}\,e_2+U_{4}\,ie_2$, $ζ=xe_1+ye_2$, $U_{k}=U_{k}(x,y)\colon D\longrightarrow \mathbb{R}$, $k=\bar{1,4}$, is {\em monogenic} in $D_ζ$ iff $Φ$ has the classic derivative in every point in $D_ζ$. Every $U_k$, $k=\bar{1,4}$, is a biharmonic function in $D$. A problem on finding an elastic equilibrium for isotropic body $D$ by given boundary values on $\partial D$ of partial derivatives $\frac{\partial u}{\partial v}$, $\frac{\partial v}{\partial y}$ for displacements $u$, $v$ is equivalent to BVP for monogenic functions, which is to find $Φ$ by given boundary values of $U_1$ and $U_4$.

研究动机与目标

• 建立二维各向同性弹性平衡问题与复数域 ℂ 上的交换双调和代数 𝔹 中正则函数之间的对应关系。
• 将位移的边值问题重新表述为关于 𝔹-值正则函数第一和第四分量边界数据的形式。
• 推导出从双调和平面上 (1-4)-问题的解中显式重构应力和位移的积分公式。
• 证明该方法与双调和方程及弹性力学理论的联系，即正则函数的所有实部分量均为双调和函数。

提出的方法

• 定义一个具有基 {e₁, e₂} 的交换双调和代数 𝔹，满足 (e₁² + e₂²)² = 0 且 e₁² + e₂² ≠ 0。
• 将 𝔹-值正则函数表示为 Φ(ζ) = U₁e₁ + U₂ie₁ + U₃e₂ + U₄ie₂，其中 ζ = xe₁ + ye₂，Uₖ 为定义在区域 D 上的实值函数。
• 证明 Φ 在 Dₚ 中为正则函数当且仅当其分量满足一组等价于广义柯西-黎曼条件的四阶一阶偏微分方程组。
• 证明每个 Uₖ 满足二维双调和方程 (Δ₂)²U = 0，从而将该方法与弹性力学理论联系起来。
• 将弹性平衡问题约化为求解 (1-4)-问题：已知 U₁ 和 U₄ 的边界值，求 Φ。
• 利用积分表示和共轭调和函数重构偏导数与应力，包括 τₓᵧ = −∂²W/∂x∂y，以及通过线积分重构位移。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用双调和代数中的正则函数重新表述二维各向同性弹性力学边值问题？
• RQ2 𝔹-值正则函数的实部分量必须满足何种偏微分方程组，才能确保其在双调和平面上的解析性？
• RQ3 若已知 U₁ 和 U₄ 的边界值，(1-4)-问题的解是否能唯一确定弹性位移场和应力场？
• RQ4 应力 σₓ、σᵧ 和 τₓᵧ 如何用正则函数分量及其导数表示？
• RQ5 调和共轭函数与积分表示在重构位移和混合二阶导数中起什么作用？

主要发现

• 𝔹-值正则函数 Φ 的每个分量 Uₖ 均为 D 内的双调和函数，满足 (Δ₂)²Uₖ = 0。
• Φ 的正则性等价于一组四阶一阶偏微分方程 (5)–(8)，该方程组广义化了经典柯西-黎曼方程。
• 各向同性体的弹性平衡问题可约化为求解 (1-4)-问题：已知 U₁ 和 U₄ 的边界值，求 Φ。
• 应力 σₓ 和 σᵧ 通过广义胡克定律由 ∂u/∂x 和 ∂v/∂y 重构，而 τₓᵧ 由 τₓᵧ = −∂²W/∂x∂y 得到。
• 位移 u 和 v 通过包含 ∂u/∂x、∂v/∂y 以及由函数 W 及其调和共轭函数重构的 ∂u/∂y 和 ∂v/∂x 的线积分恢复。
• 该方法为柯洛索夫-穆斯赫利什维利公式提供了一种替代方案，利用非交换代数中的正则函数，通过超复分析求解三维弹性力学问题。