[论文解读] $\mathbb{Z}_2^n$-Supergeometry I: Manifolds and Morphisms

Tiffany Covolo, Janusz Grabowski+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文引入Zn²-超几何作为经典超几何的推广，通过形式幂级数与Zn²-交换代数定义Zn²-超流形。证明形式级数取代了幂零性，确立了Zn²-超流形范畴在切丛与余切丛函子下封闭，并利用多项式逼近与函数代数的完备性，将基本同态定理推广至Zn²-情形。

ABSTRACT

In Physics and in Mathematics $\mathbb{Z}_2^n$-gradings, $n \geq 2$, do appear quite frequently. The corresponding sign rules are determined by the `scalar product' of the involved $\mathbb{Z}_2^n$-degrees. The present paper is the first of a series on $\mathbb{Z}_2^n$-Supergeometry. The new theory exhibits challenging differences with the classical one: nonzero degree even coordinates are not nilpotent, and even (resp., odd) coordinates do not necessarily commute (resp., anticommute) pairwise (the parity is the parity of the total degree). It is based on the hierarchy: ` $\mathbb{Z}_2^0$-Supergeometry (classical differential Geometry) contains the germ of $\mathbb{Z}_2^1$-Supergeometry (standard Supergeometry), which in turn contains the sprout of $\mathbb{Z}_2^2$-Supergeometry, etc.' The $\mathbb{Z}_2^n$-supergeometric viewpoint provides deeper insight and simplified solutions; interesting relations with Quantum Field Theory and Quantum Mechanics are expected. In this article, we define $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifolds and provide examples in the atlas, the ringed space and coordinate settings. We thus show that formal series are the appropriate substitute for nilpotency. Moreover, the category of $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifolds is closed with respect to the tangent and cotangent functors. The fundamental theorem describing supermorphisms in terms of coordinates is extended to the $\mathbb{Z}_2^n$-context.

研究动机与目标

• 基于Zn²-分次构造广义超几何框架，推广经典Z1²-超几何。
• 通过环层空间与形式幂级数定义Zn²-超流形，以完备性与收敛性替代幂零性。
• 确立Zn²-超流形范畴在切丛与余切丛函子下封闭。
• 利用多项式逼近与层完备性，将超同态的基本定理推广至Zn²-情形。
• 为量子场论与高阶向量丛的应用提供Zn²-分次结构的基础。

提出的方法

• 通过Zn²-分次的R-代数上的形式幂级数层定义Zn²-超域，符号规则由Zn²-分次的标量积决定。
• 将Zn²-超流形构造为局部Zn²-环层空间(M, AM)，其中M为Hausdorff且二阶可数的拓扑空间，AM为具有局部芽的Zn²-交换、含幺R-代数层。
• 利用Zn²-函数代数的完备性与阿贝尔群的Hausdorff-完备性，确保形式级数的收敛性与同态的良定义性。
• 在基上应用层粘合与延拓技术，从局部模型构造全局Zn²-超流形。
• 采用Zn²-函数的多项式逼近证明基本同态定理，表明超同态数据由坐标映射完全决定。
• 在经典意义下使用单位分解构造具有紧支集且全局和可逆的全局Zn²-函数，确保层的完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地发展Zn²-超几何作为经典超几何的推广？
• RQ2 在Zn²-分次超几何中，什么取代了幂零性？形式幂级数的完备性如何发挥此作用？
• RQ3 Zn²-超流形之间的同态如何通过坐标与层拉回表征？
• RQ4 Zn²-超流形范畴是否在切丛与余切丛函子下封闭？
• RQ5 基本同态定理能否推广至Zn²-情形？何种条件可确保此类推广？

主要发现

• Zn²-超流形被定义为局部Zn²-环层空间(M, AM)，其中AM为具有局部芽的Zn²-交换、含幺R-代数层，推广了经典超流形。
• Zn²-分次代数上的形式幂级数是幂零坐标之适当替代，完备性确保了收敛性与良定义的函数代数。
• Zn²-超流形范畴在切丛与余切丛函子下封闭，即TM与T*M为Zn+1²-超流形。
• 基本同态定理被推广至Zn²-超几何：超同态完全由其坐标映射决定，证明基于Zn²-函数的多项式逼近。
• 任意Zn²-超流形均存在关于开覆盖的单位分解，其中Zn²-函数具有紧支集且全局和可逆，确保层的完备性。
• Zn²-超流形的函数代数AM(M)关于Zn²-分次诱导的滤子完备，支持形式级数的收敛性与同态的良定义性。