[论文解读] ${\mathbb{Z}}_N$ graded discrete Lax pairs and discrete integrable systems

Allan P. Fordy, Pavlos Xenitidis|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过使用关于谱参数线性化的 $N\times N$ 矩阵，系统地分类了 ${\mathbb{Z}}_N$-分次离散 Lax 对，从而构建出具有丰富代数结构的可积离散系统。其主要贡献是一个统一的框架，该框架推广了已知的可积方程（例如离散 KdV、Boussinesq、Toda 晶格），并为 $N \geq 3$ 生成了新系统，包括新颖的九点和六点方程，同时通过主对称性和非局部对称性，建立了与 Bäcklund 变换及连续对称性的联系。

ABSTRACT

We introduce a class of ${\mathbb{Z}}_N$ graded discrete Lax pairs, with $N imes N$ matrices, linear in the spectral parameter. We give a classification scheme for such Lax pairs and the associated discrete integrable systems. We present two potential forms and completely classify the generic case. Many well known examples belong to our scheme for $N=2$, so many of our systems may be regarded as generalisations of these. Even at $N=3$, several new integrable systems arise. Many of our equations are mutually compatible, so can be used together to form "coloured" lattices. We also present continuous isospectral deformations of our Lax pairs, giving compatible differential-difference systems, which play the role of continuous symmetries of our discrete systems. We present master symmetries and a recursive formulae for their respective hierarchies, for the generic case. We present two nonlocal symmetries of our discrete systems, which have a natural representation in terms of the potential forms. These give rise to the two-dimensional Toda lattice, with our nonlinear symmetries being the Bäcklund transformations and our discrete system being the nonlinear superposition formula (for the generic case).

研究动机与目标

• 开发一种基于 ${\mathbb{Z}}_N$-分次 $N\times N$ Lax 对（关于谱参数线性）的离散可积系统系统分类方案。
• 通过该框架将已知的可积方程（例如离散 KdV、mKdV、Boussinesq）推广为多分量系统。
• 识别并分析连续等谱形变作为局部对称性，并在生成对称性层级时构造主对称性。
• 通过非局部对称性建立离散系统与二维 Toda 晶格之间的联系，将其识别为 Bäcklund 变换和非线性叠加公式。
• 探索系统之间的相容性，以构建具有非标准初值问题的一致 2D 和 3D 网格。

提出的方法

• 引入 ${\mathbb{Z}}_N$-分次矩阵结构及其层级分解，以定义 Lax 对及其关联的离散系统。
• 为一般情况定义两种势函数形式——商形式与加法形式，从而实现同一系统双重描述。
• 利用等价关系和约化程序对非等价系统进行分类，并识别互素与退化情形。
• 推导 Lax 矩阵 $L$ 和 $M$ 的等谱形变，以生成微分差分方程，将其解释为离散系统的连续对称性。
• 通过非自治流构造主对称性，在一般互素情形下生成对称性的可交换层级。
• 识别出两种非局部对称性（x-流与 y-流），它们在势函数形式下作为二维 Toda 晶格的 Bäcklund 变换起作用，并给出显式的矩阵表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地对关于谱参数线性化的 ${\mathbb{Z}}_N$-分次 $N\times N$ Lax 对进行分类，以生成离散可积系统？
• RQ2 所得离散系统的结构与代数性质是什么，特别是当 $N \geq 3$ 时，它们如何推广已知的可积方程？
• RQ3 Lax 矩阵的连续等谱形变如何与局部对称性及微分差分方程的层级结构相关联？
• RQ4 离散系统的非局部对称性以何种方式对应于二维 Toda 晶格的 Bäcklund 变换？
• RQ5 在何种条件下可确保不同离散系统之间的相容性，以构建具有非标准初值问题的一致 2D 和 3D 网格？

主要发现

• 该框架为 $N=3$ 生成了新的可积系统，包括由商势函数形式导出的九点标量方程（方程 3.12）和由加法势函数形式导出的六点标量方程（方程 3.13）。
• 对于 $N=2$，该方案恢复了已知系统，如离散势 KdV、mKdV 和离散 sine-Gordon 方程。
• 退化情形导出了 Hirota 的 KdV 方程的多分量推广（方程 3.53），其中包括一个新颖的 $3\times3$ 系统。
• 主对称性构造在一般互素情形下生成了对称性的可交换层级，尽管未证明其对易性，但未被示例所反驳。
• 在商势函数形式下，非局部对称性作为二维 Toda 晶格的 Bäcklund 变换起作用，在三组分情形下（$\ell_i - k_i = 1$）产生三种不同的变换。
• 一般情形下的离散系统对应于二维 Toda 晶格的非线性叠加公式，从而确认了其可积性与统一结构。