[论文解读] $\mathbf{H}^1$-conforming approximation of the Maxwell equations in heterogeneous media with minimal regularity

Andrea Bonito, Jean‐Luc Guermond+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 2

一句话总结

本论文提出一种使用C⁰有限元的H¹-一致内部惩罚方法，用于在最小正则性假设下求解异质介质中的麦克斯韦方程。该方法在任意多项式阶次下，对边界值问题和特征值问题均实现了最优收敛性，即使在Lipschitz域中具有低正则性数据时也能保证谱正确性。

ABSTRACT

The present paper proposes and analyzes an interior penalty technique using $C^0$-finite elements to solve the Maxwell equations in domains with heterogeneous properties. The convergence analysis for the boundary value problem and the eigenvalue problem is done assuming only minimal regularity in Lipschitz domains. The method is shown to converge for any polynomial degrees and to be spectrally correct.

研究动机与目标

• 为材料系数显著变化的异质介质中的麦克斯韦方程开发一种鲁棒的有限元方法。
• 解决在Lipschitz域中以最小正则性假设求解麦克斯韦方程的挑战。
• 在弱正则性条件下，确保边界值问题和特征值问题的收敛性和谱正确性。
• 将内部惩罚方法的应用扩展到使用C⁰有限元的麦克斯韦系统，避免对H¹-一致边元的依赖。

提出的方法

• 采用C⁰有限元构造内部惩罚方法，以在单元界面处弱强制连续性。
• 该方法引入一个稳定项，对电场切向分量在单元边界处的跃迁施加惩罚。
• 该公式在底层有限元空间的意义上具有H¹-一致性，确保了稳定性与一致性。
• 该方法被应用于麦克斯韦方程的源驱动边界值问题和特征值问题。
• 分析基于最小正则性假设，适用于Lipschitz域，避免对解的强光滑性要求。
• 该方法确保了谱正确性，即离散特征值收敛于连续问题的正确物理特征值。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用C⁰有限元的H¹-一致内部惩罚方法是否能在最小正则性假设下对异质介质中的麦克斯韦方程实现最优收敛？
• RQ2 在低正则性假设下，该方法是否能保持特征值问题的谱正确性？
• RQ3 该收敛结果是否对有限元空间中的任意多项式阶次均保持鲁棒？
• RQ4 该方法是否能在不需解具有更高正则性的情况下有效应用于Lipschitz域？
• RQ5 当对矢量值问题使用C⁰单元时，内部惩罚稳定项如何确保稳定性和准确性？

主要发现

• 在Lipschitz域中基于最小正则性假设，该方法对边界值问题实现了最优收敛率。
• 特征值问题具有谱正确性，即离散特征值收敛于连续问题的正确物理特征值。
• 收敛性在任意多项式阶次下均被证明，展示了在不同近似空间中的鲁棒性。
• 即使解缺乏高正则性（如在边界不规则或系数不连续的域中），该方法仍保持稳定和准确。
• 使用C⁰有限元结合内部惩罚方法，相比H¹-一致边元，实现了更简单的实现，同时保持了精度和收敛性。