[论文解读] $\mathcal{F}$-stability for self-shrinking solutions to mean curvature flow

Ben Andrews, Haizhong Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文引入并分析了任意余维下均值曲率流自缩子的$\mathcal{F}$-稳定性，推广了Colding-Minicozzi在余维一情形的结果。研究证明，具有平行主法向量的$\mathcal{F}$-稳定自缩子要么是球面$\mathbb{S}^n(\sqrt{n})$，要么是平面$\mathbb{R}^n$，并证明了不带直线因子的熵稳定自缩子是$\mathcal{F}$-稳定的，从而在更高余维下实现了分类结果。

ABSTRACT

In this paper, we formulate the notion of the $\mathcal{F}$-stability of self-shrinking solutions to mean curvature flow in arbitrary codimension. Then we give some classifications of the $\mathcal{F}$-stable self-shrinkers in arbitrary codimension, in codimension one case, our results reduce to Colding-Minicozzi's results.

研究动机与目标

• 提出任意余维下自缩子的$\mathcal{F}$-稳定性概念，推广余维一的情形。
• 在主法向量平行的条件下，对$\mathcal{F}$-稳定自缩子进行分类，该条件为关键结构约束。
• 在更高余维下，建立$\mathcal{F}$-稳定性与熵稳定性的关系，推广Colding-Minicozzi的结果。
• 通过证明仅球面与平面在指定条件下稳定，实现对熵稳定自缩子的分类。

提出的方法

• 推导$\mathbb{R}^{n+p}$中子流形的$\mathcal{F}$-泛函的一阶与二阶变分公式，利用通过高斯权定义的$\mathcal{F}_{x_0,t_0}$泛函。
• 通过$\mathcal{F}$的二阶变分非负性定义$\mathcal{F}$-稳定性，该性质与法向截面的双线性对称形式$\mathcal{I}$的谱相关联。
• 利用谱分析方法，证明对于闭合的$\mathcal{F}$-稳定自缩子，$\mathcal{I}$的唯一负特征值为$-2$与$-1$。
• 应用Simons不等式技巧，证明在$\mathbb{S}^{n+p-1}(\sqrt{n})$中唯一$\mathcal{F}$-稳定的极小子流形是$n$-维球面$\mathbb{S}^n(\sqrt{n})$。
• 通过利用第二基本形式的结构与体积增长约束，分析主法向量平行的自缩子情形。
• 建立不分解出直线因子的自缩子的熵稳定性与$\mathcal{F}$-稳定性之间的等价性，将Colding-Minicozzi的论证方法推广至更高余维。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将$\mathcal{F}$-稳定性概念推广至任意余维的自缩子？
• RQ2 在更高余维下，哪些具有平行主法向量的自缩子是$\mathcal{F}$-稳定的？
• RQ3 在更高余维下，$\mathcal{F}$-稳定性与熵稳定性之间有何关系？
• RQ4 能否将熵稳定自缩子的分类结果从余维一情形推广？
• RQ5 刻画$\mathcal{F}$-稳定性的二阶变分算子的谱条件是什么？

主要发现

• 在$\mathbb{S}^{n+p-1}(\sqrt{n})$中，唯一闭合的$\mathcal{F}$-稳定极小子流形是$n$-维球面$\mathbb{S}^n(\sqrt{n})$。
• 在$\mathbb{R}^{n+p}$中，任意闭合的$\mathcal{F}$-稳定自缩子若具有平行主法向量，则必为球面$\mathbb{S}^n(\sqrt{n})$。
• 任意完备非紧致嵌入的$\mathcal{F}$-稳定自缩子，若具有平行主法向量、多项式体积增长且$|A|^2 - |A^\nu|^2$有界，则必为平面$\mathbb{R}^n$。
• 不分解出直线因子的熵稳定自缩子在任意余维下均为$\mathcal{F}$-稳定，推广了Colding-Minicozzi的结果。
• 任何具有平行主法向量但不是$\mathbb{S}^n(\sqrt{n})$的闭合自缩子，均可通过微扰降低其熵，表明其非熵稳定。
• 任何具有平行主法向量、多项式体积增长、$|A|^2 - |A^\nu|^2$有界且非$\mathbb{S}^k(\sqrt{k}) \times \mathbb{R}^{n-k}$形式的完备非紧致自缩子，均可通过微扰降低其熵。