[论文解读] $\mathcal{H}$-matrix approximability of inverses of discretizations of the fractional Laplacian

Michael Karkulik, Jens Markus Melenk|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文证明了在有界域上对分数阶拉普拉斯算子进行伽辽金离散化所得的刚度矩阵的逆，可利用层级矩阵（$\mathcal{H}$-矩阵）以块秩的指数收敛速率进行逼近。该方法基于Caffarelli-Silvestre扩展，并通过奇异值分解实现分块低秩逼近，为利用$\mathcal{H}$-矩阵算术高效求解分数阶PDE提供了理论与数值依据。

ABSTRACT

The integral version of the fractional Laplacian on a bounded domain is discretized by a Galerkin approximation based on piecewise linear functions on a quasi-uniform mesh. We show that the inverse of the associated stiffness matrix can be approximated by blockwise low-rank matrices at an exponential rate in the block rank.

研究动机与目标

• 建立分数阶拉普拉斯算子伽辽金离散化所得刚度矩阵逆的$\mathcal{H}$-矩阵逼近的理论可逼近性。
• 将$\mathcal{H}$-矩阵技术的应用范围从经典边界元矩阵扩展至分数阶微分方程所产生的非局部、完全填充的系统。
• 通过$\mathcal{H}$-矩阵对逆矩阵进行压缩，为分数阶PDE中的高效迭代求解器与预条件子提供理论基础。
• 在不同区域与分数阶下通过数值实验验证理论结果，展示实际中指数收敛速率。

提出的方法

• 在拟均匀三角剖分上使用分片线性有限元对分数阶拉普拉斯算子的积分形式进行离散化。
• 应用Caffarelli-Silvestre扩展，将分数阶拉普拉斯算子表示为$\mathbb{R}^{d+1}$中退化椭圆PDE的Dirichlet-to-Neumann映射。
• 使用几何聚类方法构建簇树与分块簇树，邻接参数$\eta=2$。
• 通过奇异值分解在满足邻接条件的分块上计算逆矩阵的分块低秩逼近。
• 采用标准$\mathcal{H}$-矩阵结构与邻接准则（2.11），确保数据稀疏表示。
• 在正方形与L形区域上进行数值实验，测试不同分数阶$s \in \{0.25, 0.5, 0.75\}$与网格尺寸，验证指数收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 分数阶拉普拉斯算子伽辽金离散化所得刚度矩阵的逆是否能以块秩的指数收敛速率被$\mathcal{H}$-矩阵逼近？
• RQ2 Caffarelli-Silvestre扩展是否能为分数阶拉普拉斯算子逆的$\mathcal{H}$-矩阵逼近性提供理论依据？
• RQ3 对逆矩阵的$\mathcal{H}$-矩阵逼近的收敛速率与分析所预测的理论界相比如何？
• RQ4 $\mathcal{H}$-矩阵格式是否可推广至$\mathcal{H}^2$-矩阵或$\mathcal{H}$-LU分解以应用于分数阶拉普拉斯算子？
• RQ5 在不同区域与分数阶下，$\mathcal{H}$-矩阵逼近的实际性能如何？

主要发现

• 分数阶拉普拉斯算子刚度矩阵的逆以块秩的指数速率实现$\mathcal{H}$-矩阵逼近，理论误差界为$\|\mathbf{A}^{-1} - \mathbf{B}_{\mathcal{H}}^{r}\|_2 \lesssim e^{-br^{1/4}}$。
• 数值实验显示实际收敛速率快于理论预测，误差衰减速率为$\|\mathbf{A}^{-1} - \mathbf{B}_{\mathcal{H}}^{r}\|_2 \sim e^{-10r^{1/3}}$。
• 该方法在不同区域（包括正方形与L形区域）及不同分数阶$s = 0.25, 0.5, 0.75$下均表现稳健。
• $\mathcal{H}$-矩阵对逆矩阵的逼近支持对数线性复杂度算术运算，为通过预条件或直接求解器高效求解分数阶PDE提供支持。
• 分析可推广至高阶有限元（固定次数$p$的分片多项式），并适用于$\mathcal{H}^2$-矩阵与$\mathcal{H}$-LU分解。
• 数值结果证实，$\mathcal{H}$-矩阵格式在分数阶拉普拉斯算子逆的计算中具有实际可行性，即使在中等块秩下误差也能迅速减小。