[论文解读] $\mathcal{K}-$convergence as a new tool in numerical analysis

Eduard Feireisl, Mária Lukáčová–Medvid’ová+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文引入了 $χ$-收敛作为分析不适定非线性PDE数值格式收敛性的新框架，特别针对等熵欧拉系统。通过将Komlós型 $χ$-收敛适配到以Young测度表示的数值解序列上，作者证明了即使在不存在经典解的情况下，数值解的Cesàro平均仍几乎处处逐点收敛于耗散的测度值解，从而提供了Lax等价定理的非线性类比。

ABSTRACT

We adapt the concept of $\mathcal{K}-$convergence of Young measures to the sequences of approximate solutions resulting from numerical schemes. We obtain new results on pointwise convergence of numerical solutions in the case when solutions of the limit continuous problem possess minimal regularity. We apply the abstract theory to a finite volume method for the isentropic Euler system describing the motion of a compressible inviscid fluid. The result can be seen as a nonlinear version of the fundamental Lax equivalence theorem.

研究动机与目标

• 为解决等熵欧拉系统数值格式的收敛性问题，该系统在数学上是不适定的，可能允许多达无穷多个弱解。
• 基于Young测度的 $χ$-收敛，构建一个新理论框架，用于分析无需经典解的数值逼近的收敛性。
• 在极限问题不唯一时，建立无条件收敛的标准。
• 提出一种基于数值解中振荡行为的判据，以检测经典解的缺失。
• 通过在周期域上对等熵欧拉系统应用有限体积法的收敛性分析，验证该理论。

提出的方法

• 将 $χ$-收敛的概念从Young测度推广至以物理空间和相空间上的Young测度表示的数值解序列。
• 定义弱-$χ$收敛与强-$χ$收敛，以区分具有与不具有振荡的解。
• 应用Komlós定理，证明数值解的Cesàro平均在 $L^1$ 中几乎处处收敛于一个极限函数。
• 构造一个带有消失粘性项的等熵欧拉系统有限体积格式，以保证稳定性和一致性。
• 利用离散能量平衡和一致性估计，证明该格式沿子序列收敛。
• 证明：若数值解的Cesàro平均在极限下不收敛于Dirac测度，则不存在经典解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $χ$-收敛扩展至具有最小正则性的非线性PDE的数值解？
• RQ2 当经典解不存在时，数值解的Cesàro平均是否仍逐点收敛于广义解？
• RQ3 数值序列中的振荡行为能否作为极限中经典解缺失的指示器？
• RQ4 当极限解唯一时，如何利用 $χ$-收敛证明数值格式的无条件收敛？
• RQ5 能否不显式依赖Young测度来表征等熵欧拉系统的耗散解？

主要发现

• 数值解的算术平均几乎处处逐点收敛于等熵欧拉系统的耗散测度值解。
• 若极限耗散解唯一，则收敛为无条件收敛。
• 若数值解的Cesàro平均收敛于一个非Dirac测度的极限（即在正测度集上 $G \neq g(\varrho,\mathbf{m})$），则对给定初值不存在经典解。
• 该框架为不适定问题提供了Lax等价定理的非线性推广。
• 通过 $\mathfrak{D}_{\rm kin}$、$\mathfrak{D}_{\rm conv}$ 和 $\mathfrak{D}_{\rm int}$ 量化数值解中的振荡缺陷，可用于检测经典解的缺失。
• 耗散解概念可通过直接分析动量与能量平衡中的缺陷项来定义，而无需显式使用Young测度。