[论文解读] $\mathcal{N}=2$ SCFT with minimal flavor central charge

Dan Xie|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2017

Organic and Molecular Conductors Research参考文献 19被引用 3

一句话总结

该论文通过六维 (2,0) 理论构造，识别出具有最小 flavor 中心情量的 4d $χ=2$ 超 conformal 场论 (SCFT)。研究发现，对于 $ADE$ 和 $C_N$ flavor 群，最小理论达到了 bootstrap 界 on $k_G$ 的饱和；而 $B_N$、$G_2$ 和 $F_4$ 理论则超过了这些界限。值得注意的是，该工作发现了具有 $B_3$、$G_2$、$F_4$、$C_4\times U(1)$ 和 $C_1\times U(1)$ flavor 对称性的新秩一 SCFT，其中许多具有非平凡的 Higgs 分支和边际形变。

ABSTRACT

We list 4d interacting $\mathcal{N}=2$ SCFT with minimal flavor central charge from the theory space constructed using 6d $(2,0)$ theory. For $ADE$ and $C_N$ flavor groups, our theory saturates the bound found using bootstrap method, but other cases have higher values. We find interesting rank one SCFTs with $B_3, G_2, F_4, C_4 imes U(1), C_1 imes U(1)$ flavor symmetry. Many physical properties of these theories are also studied.

研究动机与目标

• 在由六维 (2,0) 理论构造的理论类中，识别出具有最小 flavor 中心情量 $k_G$ 的 $χ=2$ SCFT。
• 确定此类最小理论是否对各种李群 $G$ 饱和 conformal bootstrap 界 on $k_G$。
• 表征这些最小理论的物理性质——中心荷 $(a,c)$、Coulomb 分支谱、Higgs 分支轨道以及额外的 $U(1)$ flavor 对称性。
• 探索是否存在具有例外或非 simply-laced flavor 对称性的新秩一 SCFT，包括 $B_3$、$G_2$、$F_4$ 和 $C_1\times U(1)$。

提出的方法

• 通过 class $S$ 构造系统扫描由六维 (2,0) 理论构建的理论空间。
• 利用李代数数据（Coxeter 数 $h$、对偶 Coxeter 数 $h^\vee$ 和 lacity $n$）计算中心荷 $(a,c)$ 和 flavor 中心情量 $k_G$。
• 使用公式 $k_G = h^\vee - \frac{1}{n} \frac{h}{r}$（当 $r > 1$ 时），以及 $k_G \geq k_{\text{min}}$（当 $r=1$ 时）推导界限。
• 通过 $(a - c) = -\frac{\dim(\text{Higgs})}{24}$ 将中心荷数据与 Higgs 分支维数匹配，以推断幂零轨道结构。
• 识别相关顶点算子代数及其层级 $k_{2d} = -k_G$，并对 $A_{N-1}$（当 $N$ 为奇数时）进行可接受性检查。
• 使用 Coulomb 分支算子公共分母 $r = k + b$ 对可能的 $k_G$ 值进行分类与约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 由六维 (2,0) 理论构造的 $χ=2$ SCFT 中，具有最小 flavor 中心情量 $k_G$ 的理论是否对所有李群 $G$ 饱和 conformal bootstrap 界 on $k_G$？
• RQ2 这些最小 $k_G$ 理论的物理性质（中心荷、Coulomb 分支谱、Higgs 分支轨道以及额外 $U(1)$ 对称性）是什么？
• RQ3 是否存在具有非 simply-laced 或例外 flavor 对称性的新秩一 SCFT，如 $B_3$、$G_2$、$F_4$、$C_4\times U(1)$ 和 $C_1\times U(1)$？
• RQ4 为何某些 $B_N$、$G_2$ 和 $F_4$ 的最小 $k_G$ 理论超过 bootstrap 界？其 flavor 中心情量的结构如何解释？
• RQ5 观察到的 $k_G = h^\vee - \frac{1}{n} \frac{h}{r}$ 模式能否推广为具有 Coulomb 分支公共分母 $r$ 的理论的普遍界限？

主要发现

• 对于 $ADE$ 和 $C_N$ flavor 群，最小 $k_G$ 理论达到 conformal bootstrap 界的饱和：$A_{N-1}$ 为 $k_G = N/2$，$D_N$ 为 $k_G = N-2$，$E_6,E_7,E_8$ 分别为 $k_G = 3,4,6$，$C_N$ 为 $k_G = N/2 + 1$，$B_N$ 为 $k_G = N - 3/2$。
• $B_3$、$G_2$、$F_4$、$C_4\times U(1)$ 和 $C_1\times U(1)$ 理论是新发现的秩一 SCFT，其 $k_G$ 分别为 $2$、$2$、$3$、$3$ 和 $1.5$，它们与已知理论具有相同的 $(a,c)$ 值，但 Coulomb 分支谱不同。
• $B_3$ 和 $G_2$ 理论具有一个维数为二的算子，暗示存在精确的边际形变，尽管它们没有弱耦合 gauge 理论描述。
• $B_3$ 理论的 Higgs 分支为幂零轨道 $[3,2,2,1,1,1,1]$，$G_2$ 理论为 $G_2(a_1)$，两者均不同于最小轨道。
• $C_1\times U(1)$ 和 $B_4\times U(1)$ 理论的 $(a,c)$ 与 $A_2$ 和 $E_6$ 分别相同，但 Coulomb 分支谱不同。
• 本文提出一个通用界限猜想：对于 Coulomb 分支具有公共分母 $r$ 的理论，有 $k_G \geq h^\vee - \frac{1}{n} \frac{h}{r}$，且在最小情形下取等号。