[论文解读] $\mathcal{P}_m$ Interior Penalty Nonconforming Finite Element Methods for $2m$-th Order PDEs in $\mathbb{R}^n$

Shuonan Wu, Jinchao Xu|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 1被引用 10

一句话总结

本文提出了一类针对 $\mathbb{R}^n$ 中 $2m$ 阶 PDE 的最小 $π_m$ 内部罚非协调有限元方法，采用 $\mathcal{P}_m$ 形状函数并引入内部罚项，确保当 $m > n$ 时的收敛性。该方法在罚参数为 $\mathcal{O}(1)$ 的条件下，实现了能量范数下的拟最优误差估计，从而实现了高阶 PDE 的鲁棒、简单且灵活的离散化，且无需使用协调元。

ABSTRACT

In general $n$-dimensional simplicial meshes, we propose a family of interior penalty nonconforming finite element methods for $2m$-th order partial differential equations, where $m \geq 0$ and $n \geq 1$. For this family of nonconforming finite elements, the shape function space consists of polynomials with a degree not greater than $m$, making it minimal. This family of finite element spaces exhibits natural inclusion properties, analogous to those in the corresponding Sobolev spaces in the continuous case. By applying interior penalty to the bilinear form, we establish quasi-optimal error estimates in the energy norm. Due to the weak continuity of the nonconforming finite element spaces, the interior penalty terms in the bilinear form take a simple form, and an interesting property is that the penalty parameter needs only to be a positive constant of $\mathcal{O}(1)$. These theoretical results are further validated by numerical tests.

研究动机与目标

• 为任意维数 $n$ 中的高阶 PDE（$2m$ 阶）开发一种简单、最小化且灵活的有限元方法。
• 克服当 $m \geq 2$ 或 $n \geq 2$ 时构造 $C^{m-1}$ 协调元的困难，避免产生复杂且不切实际的单元。
• 通过引入内部罚项，将 Morley-Wang-Xu 非协调元的适用范围从限制 $m \leq n$ 扩展至 $m > n$ 的情形。
• 在最小正则性假设下，无需依赖协调有限元的存在性，确保收敛性与拟最优误差估计。

提出的方法

• 在非协调有限元空间中使用最小的 $\mathcal{P}_m$ 多项式形状函数，确保方法的简洁性与局部效率。
• 在单元面上引入内部罚项以稳定方法，并在 $m > n$ 时控制一致性误差，罚参数为 $\mathcal{O}(1)$。
• 通过定义自由度，保持对阶数至 $m-1$ 的导数的弱连续性，确保与连续问题的一致性。
• 构造一个双线性形式，结合断裂 $H^m$ 内积与导数跳跃的面积分，罚项按 $h_F^{-2m+1}$ 缩放。
• 采用变分格式，通过罚项强制实现弱连续性，同时保持刚度矩阵的对称性与正定性。
• 使用局部多项式次数为 $m$ 的非协调有限元空间 $V_h$，并为误差分析定义断裂 Sobolev 范数与跳跃算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $m > n$ 时，能否基于 $\mathcal{P}_m$ 多项式构造出针对 $\mathbb{R}^n$ 中 $2m$ 阶 PDE 的最小非协调有限元方法？
• RQ2 在缺乏协调元的前提下，如何设计内部罚项以确保收敛性与最优误差估计？
• RQ3 实现能量范数下拟最优收敛速率所需的最小正则性条件是什么？
• RQ4 罚参数能否保持为与网格尺寸无关的 $\mathcal{O}(1)$ 常数，从而保证条件数的鲁棒性？
• RQ5 该方法在解的正则性降低的非凸区域上是否仍能保持最优收敛速率？

主要发现

• 在假设协调有限元存在的前提下，该方法在能量范数下实现了拟最优误差估计 $\|u - u_h\|_h \lesssim h^s |u|_{m+s}$，其中 $s = \min\{1,t\}$。
• 对于满足 $u \in H^{m+t}(\Omega)$ 的解，该方法在断裂 $H^m$ 范数下以 $h^{\min(1,t)}$ 的速率收敛，与最优收敛率一致。
• 数值实验验证了在单位正方形上光滑解的 $H^3$ 范数下线性收敛，观测收敛阶 $\approx 1.00$（$m=3,n=2$），与定理 4.9 一致。
• 在具有奇点解的 L 形区域上（$u \in H^{3+1/2}$），该方法在断裂 $H^3$ 范数下实现了约 $0.5$ 的收敛阶，与理论预测的 $h^{1/2}$ 一致。
• 罚参数 $\eta$ 可取为 $\mathcal{O}(1)$ 常数（如 $\eta = 1$），确保条件数鲁棒性与实际计算效率。
• 该方法保持了刚度矩阵的对称性与正定性，从而支持高效求解线性系统。