[论文解读] Mathematical analysis of stochastic models for tumor-immune systems

O. Chis, Dumitru Opriş|ArXiv.org|Jun 15, 2009

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于维纳过程驱动的伊藤随机微分方程对肿瘤-免疫相互作用随机模型的数学分析，以捕捉生物噪声。通过应用李雅普诺夫指数分析和二阶欧拉格式进行数值模拟，作者评估了库兹涅佐夫-泰勒与贝尔型模型在平衡点处的随机稳定性，展示了参数依赖性噪声如何影响长期肿瘤动力学与免疫反应的持久性。

ABSTRACT

In this paper we investigate some stochastic models for tumor-immune systems. To describe these models we used a Wiener process, as the noise has a stabilization effect. Their dynamics are studied in terms of stochastic stability in the equilibrium points, by constructing the Lyapunov exponent, depending on the parameters that describe the model. We have studied and analyzed a Kuznetsov-Taylor like stochastic model and a Bell stochastic model for tumor-immune systems. These stochastic models are studied from stability point of view and they were represented using the Euler second order scheme.

研究动机与目标

• 使用维纳过程研究随机扰动下肿瘤-免疫相互作用模型的随机稳定性。
• 分析噪声如何影响库兹涅佐夫-泰勒与贝尔型肿瘤-免疫模型中平衡点的稳定性。
• 开发并应用二阶欧拉格式对这些模型中的随机微分方程进行数值模拟。
• 通过积分漂移与扩散系数并加权于不变分布，计算李雅普诺夫指数，作为随机系统几乎必然指数稳定性的度量。
• 利用福克-普朗克方程推导相变量的不变概率分布，并通过数值方法验证。

提出的方法

• 使用伊藤随机微分方程与维纳过程噪声，构建库兹涅佐夫-泰勒与贝尔型肿瘤-免疫模型的随机版本。
• 应用二阶欧拉格式实现弱收敛阶为2的数值方法，包含漂移项、扩散项及高阶校正项。
• 推导相变量θ的不变概率密度函数的福克-普朗克方程，实现长期统计分析。
• 通过加权于不变分布的漂移与扩散系数对积分计算李雅普诺夫指数：λ = ∫[q₁(θ) + ½(q₄(θ)² - q₂(θ))]p(θ)dθ。
• 使用Box-Muller方法生成标准正态随机变量，用于数值模拟中的维纳增量。
• 在包含N个点的均匀网格上，通过向后差分格式数值求解福克-普朗克方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 维纳过程带来的加法噪声如何影响肿瘤-免疫模型中平衡态的随机稳定性？
• RQ2 李雅普诺夫指数在确定随机肿瘤-免疫系统中几乎必然指数稳定性方面起什么作用？
• RQ3 库兹涅佐夫-泰勒模型中的参数变化如何在随机扰动下影响稳定与不稳定平衡点之间的转变？
• RQ4 能否利用福克-普朗克方程在解析与数值上近似相变量的不变概率分布？
• RQ5 相较于标准欧拉格式，二阶欧拉格式在这些随机系统中在多大程度上提升了数值模拟的精度？

主要发现

• 李雅普诺夫指数计算为 λ = ∫[q₁(θ) + ½(q₄(θ)² - q₂(θ))]p(θ)dθ，其中 p(θ) 是由福克-普朗克方程导出的不变概率密度。
• 在矩阵 B = [α, -β; β, α] 的特殊情况下，不变分布为 p(θ) = K / β² exp{[ (a₂₁ - a₁₂ - αβ)θ + ½(a₁₁ - a₂₂)cos(2θ) + ½(a₂₁ - a₁₂)sin(2θ) ] / β²}，其中 K 确保归一化。
• 李雅普诺夫指数简化为 λ = ½(a₁₁ + a₂₂ + β² - α²) + ½(a₁₁ - a₂₂)c₂ + ½(a₂₁ + a₁₂)s₂，其中 c₂ 与 s₂ 分别为 cos(2θ) 与 sin(2θ) 关于 p(θ) 的积分。
• 使用 Maple 12 与二阶欧拉格式进行的数值模拟证实了随机模型的弱收敛阶为2。
• 相分布通过步长为 h = π/N 的网格上的向后差分格式近似，解满足涉及 F(i) 与 p(i) 的递推关系。
• 福克-普朗克方程被解为一阶常微分方程：(−q₃(θ) + q₁(θ)q₄(θ) + q₂(θ)q₅(θ))p(θ) + ½q₄(θ)²p′(θ) = p₀，其中 q₅(θ) 通过 2θ 的三角函数定义。