[论文解读] Mathematical aspects of the Kubo formula for electrical conductivity with dissipation

Alexander Watson, Dionisios Margetis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2023

Quantum and electron transport phenomena被引用 4

一句话总结

本文针对具有耗散的量子系统中的电导率，系统地推导了Kubo公式的正式形式，通过泊松分布的散射事件建模散射过程。推导出一个通用的电导率表达式，其在特定条件下可简化为广为人知的形式——如Drude模型和周期性紧束缚模型——为石墨烯和自由电子等材料中的电子输运分析提供了一个统一的框架。

ABSTRACT

In this expository article, we present a systematic formal derivation of the Kubo formula for the linear-response current due to a time-harmonic electric field applied to non-interacting, spinless charged particles in a finite volume in the quantum setting. We model dissipation in a transparent way by assuming a sequence of scattering events occurring at random-time intervals modeled by a Poisson distribution. By taking the large-volume limit, we derive special cases of the formula for free electrons, continuum and tight-binding periodic systems, and the nearest-neighbor tight-binding model of graphene. We present the analogous formalism with dissipation to derive the Drude conductivity of classical free particles.

研究动机与目标

• 为在时谐电场作用下、无相互作用且自旋为零的量子粒子的线性响应电导率，提供一种系统化的正式推导。
• 通过将散射事件建模为平均散射时间倒数为Γ的泊松过程，以清晰透明的方式引入耗散。
• 推导Kubo公式的大体积极限，得到自由电子、连续周期势、紧束缚模型和石墨烯的特例。
• 在适当极限下，将量子形式的Kubo公式还原为经典Drude电导率，验证不同物理 regime 之间的自洽性。
• 提供一个统一的数学框架，通过一个通用且可推广的公式，连接多种电子输运模型。

提出的方法

• 通过指数分布间隔的随机散射事件序列建模耗散，其参数为平均散射时间的倒数Γ。
• 推导出一般Kubo公式的表达式：$\sigma_{lm}(\omega) = -\frac{e^2}{\hbar^2} \tilde{\operatorname{Tr}}\left\{ (\partial_l H)(\mathcal{L}_H - i\omega + \Gamma)^{-1} \partial_m \Phi(H) \right\} $，其中$\tilde{\operatorname{Tr}}$为单位体积的迹密度。
• 将该形式化方法应用于推导自由粒子、连续周期势、紧束缚极限以及最近邻石墨烯模型的具体结果。
• 通过时间有序的期望值和对泊松分布散射时间的随机平均，计算电流响应。
• 通过从同一框架中推导Drude电导率，处理经典极限，表明其与已知结果一致。
• 采用Liouvillian算符$\mathcal{L}_H = \frac{i}{\hbar}[H, \cdot]$和动量空间导数$\partial_l = -i[X_l, \cdot]$，将公式表达于动量空间和傅里叶域中。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在通过泊松分布散射事件建模耗散的前提下，正式推导电导率的Kubo公式？
• RQ2 在自由电子、周期势和紧束缚模型的情况下，一般Kubo公式的极限形式是什么？
• RQ3 在适当极限下，量子Kubo公式如何还原为经典Drude模型？
• RQ4 反散射时间Γ在调节频率相关电导率中的作用是什么？
• RQ5 该通用公式是否能一致地重现已知结果，如周期系统中的Drude峰和带间贡献？

主要发现

• 推导出适用于无相互作用、自旋为零的粒子在时谐场和耗散作用下的通用Kubo公式：$\sigma_{lm}(\omega) = -\frac{e^2}{\hbar^2} \tilde{\operatorname{Tr}}\left\{ (\partial_l H)(\mathcal{L}_H - i\omega + \Gamma)^{-1} \partial_m \Phi(H) \right\} $。
• 对于自由电子，该公式给出Drude电导率：$\sigma(\omega) = \frac{e^2 \tilde{N}}{m(-i\omega)} \left( \frac{1}{\Gamma} - \frac{1}{\Gamma - i\omega} \right) $，在低频极限下与经典结果一致。
• 在周期系统的紧束缚极限下，该公式简化为带结构计算中常用的标准形式，包括带间贡献。
• 在最近邻紧束缚模型下的石墨烯中，该形式化方法重现了已知的电导率行为，包括在清洁极限下的普遍值。
• 在大体积、弱场和经典极限区域，经典Drude电导率被成功恢复，证实了与已知物理的一致性。
• 推导表明，通过泊松散射引入Γ可自然地对响应函数产生阻尼，从而解决了零频极限下的发散问题。