[论文解读] Mathematical modeling of micropolar fluid flows through a thin porous medium

Francisco J. Suárez‐Grau|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 47被引用 10

一句话总结

本论文利用均近化技术，推导出具有周期性微观结构的薄多孔介质（TPM）中微极流体流动的广义二维达西方程。根据微观结构尺寸 $a_{\rho}$ 与膜厚 $\rho$ 的比值，存在三种不同的渐近 regime（PTPM、HTPM、VTPM），分别对应不同的宏观模型，其中速度场与微旋转场通过由三维、二维或雷诺型局部问题导出的流动因子 $K^{(1)}_{\lambda}$、$K^{(2)}_{\lambda}$ 耦合。

ABSTRACT

We study the flow of a micropolar fluid in a thin domain with microstructure, i.e. a thin domain with thickness $\\varepsilon$ which is perforated by periodically distributed solid cylinders of size $a_\\varepsilon$. A main feature of this study is the dependence of the characteristic length of the micropolar fluid on the small parameters describing the geometry of the thin porous medium under consideration. Depending on the ratio of $a_\\varepsilon$ with respect to $\\varepsilon$, we derive three different generalized Darcy equations where the interaction between the velocity and the microrotation fields is preserved.

研究动机与目标

• 建立具有周期性微观结构的薄多孔介质（TPM）中微极流体流动的模型。
• 在宏观流动行为中考虑速度场与微旋转场之间的耦合效应。
• 推导依赖于微结构尺寸与膜厚之比 $\lambda = \lim a_\varepsilon / \varepsilon$ 的广义达西型方程。
• 将现有牛顿流体在 TPM 中的均近化结果扩展至具有微观结构的微极（非牛顿）流体。
• 为微极流体在薄且具有结构的域中的数值建模与工程应用提供理论基础。

提出的方法

• 采用多尺度展开方法，并结合适用于高度重新缩放的薄域的改进周期性展开技术。
• 在固定高度域中引入重新缩放问题，以处理 $\varepsilon \to 0$ 与 $a_\varepsilon \to 0$ 的渐近极限。
• 求解局部单元问题：PTPM 中为三维微极斯托克斯问题，HTPM 中为二维微极问题，VTPM 中为二维微极雷诺问题。
• 推导形式为 $\text{div}(K^{(1)}_{\lambda}(f - \nabla p) + K^{(2)}_{\lambda}g) = 0$ 的宏观达西方程，其中 $K^{(k)}_{\lambda}$ 为有效流动因子。
• 通过在周期性单元上对局部问题解的积分计算流动因子 $K^{(k)}_{\lambda}$，并在 VTPM 情况下推导出显式表达式。
• 利用改进的展开方法建立紧致性与收敛性结果，严格完成弱形式中的极限过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在微极流体通过薄多孔介质的宏观流动中，速度场与微旋转场之间的耦合效应如何体现？
• RQ2 根据尺度比 $\lambda = \lim a_\varepsilon / \varepsilon$，微极流体在 TPM 中的渐近 regime 有哪些不同？
• RQ3 微极流体的有效达西定律在结构与微结构依赖性方面，与经典达西定律有何差异？
• RQ4 在每个 regime 中，控制有效流动因子的适当局部单元问题（三维、二维或雷诺形式）是什么？
• RQ5 用于牛顿流体的均近化框架能否推广至具有微观结构的薄域中微极流体？

主要发现

• 推导出三种不同的广义达西方程，分别对应三种 regime：PTPM（$\lambda \in (0,\infty)$）、HTPM（$\lambda = 0$）和 VTPM（$\lambda = \infty$），每种 regime 对应不同的局部问题。
• 在 VTPM regime 中，微旋转场与压力梯度解耦，有效流动因子 $L^{(1)}_{\infty}$ 消失，系统得以简化。
• 通过局部问题解的积分显式计算了流动因子 $K^{(k)}_{\lambda}$，其中 $K^{(k)}_{\infty}$ 在 VTPM 情况下由二维微极雷诺问题导出。
• 在 VTPM 情况下，压力方程退化为与经典 Hele-Shaw 和达西定律一致的形式，当 $R_c \to 0$ 时，恢复了文献 [5,14] 中已知的结果。
• VTPM 中局部问题的解可显式表示为双曲函数形式，涉及参数 $N$、$R_c$ 和 $k = \sqrt{4N^2(1-N^2)/R_c}$。
• 宏观速度场与微旋转场通过周期性单元上的平均获得，表达式为 $\widetilde{U}^\prime = -K^{(1)}_{\infty}(\nabla_{x^\prime}\tilde{P} - f^\prime) + K^{(2)}_{\infty}g^\prime$ 与 $\widetilde{W}^\prime = -L^{(1)}_{\infty}(\nabla_{x^\prime}\tilde{P} - f^\prime) + L^{(2)}_{\infty}g^\prime$，证实了达西型结构。