[论文解读] Mathematical models and search algorithms for the capacitated $p$-center problem

Raphael Kramer, Manuel Iori+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2018

Facility Location and Emergency Management被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于分解的精确算法，用于解决容量受限的 $p$-中心问题，采用定制的数学建模、有效不等式（包括基于析取的子集和不等式）以及一种新颖的分层搜索策略，该策略在顺序搜索与二分搜索之间取得平衡。该算法成功将文献中最多含 402 个顶点、整数距离的所有实例求解至已证明最优，包括 13 个此前开放的问题，并在 10 分钟内为最多含 3,038 个顶点的实例找到了可行解。

ABSTRACT

The capacitated p-center problem requires to select p facilities from a set of candidates to service a number of customers, subject to facility capacity constraints, with the aim of minimizing the maximum distance between a customer and its associated facility. The problem is well known in the field of facility location, because of the many applications that it can model. In this paper, we solve it by means of search algorithms that iteratively seek the optimal distance by solving tailored subproblems. We present different mathematical formulations for the subproblems and improve them by means of several valid inequalities, including an effective one based on a 0-1 disjunction and the solution of subset sum problems. We also develop an alternative search strategy that finds a balance between the traditional sequential search and binary search. This strategy limits the number of feasible subproblems to be solved and, at the same time, avoids large overestimates of the solution value, which are detrimental for the search. We evaluate the proposed techniques by means of extensive computational experiments on benchmark instances from the literature and new larger test sets. All instances from the literature with up to 402 vertices and integer distances are solved to proven optimality, including 13 open cases, and feasible solutions are found in 10 minutes for instances with up to 3038 vertices.

研究动机与目标

• 开发容量受限的 $p$-中心问题的精确求解方法，该问题为 NP-难问题，在应急服务与物流领域具有重要意义。
• 解决设施容量与最小化客户-设施最大距离之间的平衡挑战。
• 通过定制的数学建模与有效不等式，提升求解效率。
• 设计一种搜索策略，避免对最优距离的大幅高估，同时减少求解的子问题数量。
• 在包含最多 3,000 个顶点的基准与新大规模实例上评估性能，距离类型涵盖整数与浮点数。

提出的方法

• 采用分解方法，对候选最优距离迭代求解容量受限集合覆盖子问题。
• 采用介于顺序搜索与二分搜索之间的分层搜索策略，减少子问题迭代次数，并避免对距离的大幅高估。
• 提出一种基于 0-1 析取的可行不等式，并通过求解子集和问题来加强子问题线性松弛的紧致性。
• 开发一种替代的弧流公式，提供强线性松弛界。
• 应用对称性破坏约束与有效不等式，以减少分支定界法中的最优性间隙与节点探索数量。
• 采用计算策略，将子问题求解限制在可行的距离边界内，从而提升整体效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 分层搜索策略是否能在求解容量受限的 $p$-中心问题时优于传统的顺序搜索与二分搜索？
• RQ2 基于析取的有效不等式与子集和问题在紧致化子问题线性松弛方面效果如何？
• RQ3 所提出的公式与搜索算法能否将最多含 402 个顶点、整数距离的所有基准实例求解至已证明最优，包括此前开放的案例？
• RQ4 该算法在最多含 3,000 个顶点、浮点数距离的大规模实例上的性能表现如何？
• RQ5 新公式与不等式在多大程度上减少了分支定界树中探索的节点数量？

主要发现

• 所有最多含 402 个顶点、整数距离的基准实例均被求解至已证明最优，包括 13 个此前开放的案例。
• 分层搜索策略（L2、L3、L4）在平均间隙方面表现最佳，且在浮点数距离下最为稳定。
• 顺序搜索（SS）在整数距离下求解的实例最多，但分层搜索（L4）在已证明最优解数量与求解时间方面整体表现最佳。
• 在浮点数距离下，分层搜索显著优于顺序搜索与二分搜索，主要得益于迭代次数更少以及对高估情况的更好处理。
• 基于析取的子集和不等式有效提升了下界，并减少了分支定界过程中探索的节点数量。
• 对于所有最多含 3,038 个顶点的实例，均在 10 分钟内找到了可行解，表明该算法在大规模问题上具有良好的可扩展性。