[论文解读] Mathematical Problems of Gauge Quantum Field Theory: A Survey on the Schwinger Model

Andreas U. Schmidt|ArXiv.org|Jul 18, 1997

Laser-Plasma Interactions and Diagnostics参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文以施温格模型为一个可处理的实例，对规范量子场论进行了数学综述，聚焦于不定度量空间中量子化所面临的挑战。它确立了准正内积空间的庞特里亚金空间结构，推广了先前的工作，并澄清了该模型中态空间与Wightman函数的不定性。

ABSTRACT

This extended write-up of a talk gives an introductory survey of mathematical problems of the quantization of gauge systems. Using the Schwinger model as an exactly tractable but nontrivial example which exhibits general features of gauge quantum field theory, I cover the following subjects: The axiomatics of quantum field theory, formulation of quantum field theory in terms of Wightman functions, reconstruction of the state space, the local formulation of gauge theories, indefiniteness of the Wightman functions in general and in the special case of the Schwinger model, the state space of the Schwinger model, special features of the model. New results are contained in the Mathematical Appendix, where I consider in an abstract setting the Pontrjagin space structure of a special class of indefinite inner product spaces - the so called quasi-positive ones. This is motivated by the indefinite inner product space structure appearing in the above context and generalizes results of Morchio and Strocchi [J. Math. Phys. 31 (1990) 1467], and Dubin and Tarski [J. Math. Phys. 7 (1966) 574].

研究动机与目标

• 解决规范场论量子化中的基础数学挑战，特别是不定度量空间的问题。
• 以施温格模型为非平凡但可精确求解的实例，阐明规范量子场论的一般特征。
• 澄清规范理论中态空间结构以及Wightman函数不定性的来源。
• 通过在抽象设定下引入并分析准正空间，推广关于不定内积空间的结果。
• 为理解施温格模型中物理态空间提供严格的数学框架。

提出的方法

• 基于Wightman公理构建量子场论，并从Wightman函数重构态空间。
• 分析规范场论的局部表述及其在希尔伯特空间中导致的不定度量结构。
• 应用庞特里亚金空间的概念，刻画施温格模型中出现的不定内积结构。
• 引入并研究“准正”不定内积空间，作为先前构造的推广。
• 使用抽象泛函分析技术推导态空间结构，扩展了Morchio与Strocchi以及Dubin与Tarski的结果。
• 使用AMSTeX配合PICTeX宏包进行数学结果的正式表述与附录中的推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 在规范对称性存在的情况下，施温格模型的态空间如何从Wightman函数中涌现？
• RQ2 施温格模型在量子化过程中出现的不定内积空间具有怎样的数学结构？
• RQ3 准正内积空间的概念如何推广量子场论中关于不定度量空间的已知结果？
• RQ4 Wightman函数的不定性对规范理论中物理态空间有何影响？
• RQ5 尽管施温格模型本身简单，它在何种意义上体现了规范量子场论的一般特征？

主要发现

• 施温格模型的态空间被构造为庞特里亚金空间，反映了规范固定导致的不定度量结构。
• 施温格模型中的Wightman函数通常为不定，这是规范对称性及伴随的非物理态的直接结果。
• 数学附录确立了准正内积空间构成了一类自然的不定内积空间，推广了早期结果。
• 本文通过提供更广泛的不定度量空间在量子场论中的框架，扩展了Morchio与Strocchi以及Dubin与Tarski的工作。
• 尽管存在不定度量，施温格模型仍表现出明确定义的物理态空间，证明了公理化方法的一致性。
• 分析确认，通过不定内积结构可将物理态与非物理态明确分离。