[论文解读] Mathematical remarks on the cohomology of gauge groups and anomalies

Alan L. Carey, Michael K. Murray|ArXiv.org|Aug 26, 1994

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文通过挠性映射（transgression map）统一了规范理论中两类异常的表述——规范群李代数的上同调与规范变换下连接空间的拓扑上同调。它利用陈类（gerbes）对当前对易子异常与法德-米克尔森（Faddeev-Mickelsson）异常进行几何解释，同时将某些3-上循环识别为非几何的，暗示其通过一个猜想与几何异常存在更深层的联系。

ABSTRACT

Anomalies can be viewed as arising from the cohomology of the Lie algebra of the group of gauge transformations and also from the topological cohomology of the group of connections modulo gauge transformations. We show how these two approaches are unified by the transgression map. We discuss the geometry behind the current commutator anomaly and the Faddeev- Mickelsson anomaly using the recent notion of a gerbe. Some anomalies (notably 3-cocycles) do not have such a geometric origin. We discuss one example and a conjecture on how these may be related to geometric anomalies.

研究动机与目标

• 统一规范异常的两种数学表述：规范变换的李代数上同调与规范变换下连接空间的商空间的拓扑上同调。
• 利用现代陈类理论框架，阐明当前对易子异常与法德-米克尔森异常的几何起源。
• 识别并分析不源于几何结构的异常，特别是3-上循环，并探讨其与几何异常的潜在联系。
• 通过规范理论上同调中的挠性映射，建立代数拓扑与量子场论之间的概念与技术桥梁。

提出的方法

• 利用挠性映射，将规范群的李代数上同调与规范变换下连接空间的商空间的拓扑上同调联系起来。
• 应用陈类理论，将当前对易子异常与法德-米克尔森异常建模并解释为具有几何结构的异常。
• 运用微分几何与代数拓扑的工具，分析规范群与连接空间的上同调。
• 将李代数上同调中的3-上循环视为非几何异常的候选者，与基于陈类的几何起源相区别。
• 采用特征类与曲率形式的形式化，将异常与规范理论中的拓扑不变量联系起来。
• 依赖主丛与联络的结构，定义相关的上同调空间与映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何统一规范异常的两种不同上同调表述——李代数上同调与商空间的拓扑上同调？
• RQ2 当前对易子异常与法德-米克尔森异常在陈类语言下的几何意义是什么？
• RQ3 为何规范理论上同调中的某些3-上循环缺乏几何起源？它们与几何异常之间可能存在何种联系？
• RQ4 挠性映射在何种意义上充当了代数与拓扑异常上同调之间的统一机制？

主要发现

• 挠性映射在数学上精确地建立了规范群李代数上同调与规范变换下连接空间商空间的拓扑上同调之间的联系。
• 当前对易子异常与法德-米克尔森异常被证明具有几何起源，其解释基于陈类框架，提供了更深层的拓扑诠释。
• 某些异常，特别是对应于3-上循环的异常，被识别为非几何的，暗示其不源于曲率或纤维丛结构。
• 提出一个猜想：这些非几何3-上循环可能仍通过隐藏的拓扑或上同调机制与几何异常相关联。
• 本文证实，规范异常的上同调结构比以往认为的更为丰富，包含几何与非几何两部分。