[论文解读] Mathematical remarks on transcritical bifurcation in Hamiltonian systems

Klaus Jaenich|ArXiv.org|Oct 18, 2007

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过聚焦辛映射中的秩-1分岔，为哈密顿系统中跨临界分岔的数学分析提供了框架。引入了适应坐标系，并基于庞加莱映射$P$-分量的Hessian矩阵，定义了正规、确定性和跨临界交叉分岔，证明了在庞加莱映射的雅可比矩阵与扰动项满足非退化条件时，此类分岔在一般扰动下被破坏。

ABSTRACT

This article is meant as a mathematical appendix or comment on [BT]. We first consider the notion of transcritical bifurcations of fixed points of general area-preserving maps, and then adress some questions related to [BT] on bifurcation in Poincaré maps of 2-dimensional Hamiltonian systems. [BT] M. Brack and K. Tanaka, arXiv:0705.0753

研究动机与目标

• 形式化2D哈密顿系统中辛映射的跨临界分岔概念，尤其在庞加莱返回映射的背景下。
• 通过Hessian分析，定义并分类辛族中的秩-1分岔，区分正规、确定性和跨临界类型。
• 建立在一般条件下，跨临界分岔在扰动下被破坏的判据，确保其结构不稳定性。
• 基于庞加莱映射的线性化动力学和扰动项，提供一个可计算的条件，以判断分岔是否持续或被破坏。

提出的方法

• 引入适应坐标系，使得在分岔点处辛映射的雅可比矩阵取到规范形式，满足$Q_q - 1 = 0$，$Q_p \neq 0$，且$Q_\nu = 0$。
• 通过要求$P$关于$(q, \nu)$的Hessian矩阵在原点非退化，定义正规秩-1分岔。
• 引入交叉分岔的概念，即作为不定的正规秩-1分岔，而当$P_{qq} \neq 0$时，定义为跨临界分岔。
• 将不动点集$F$视为限制在曲面$X = \{Q = q\}$上的$P - p$的零点集，利用该限制的Hessian矩阵研究其局部结构。
• 应用拉格朗日乘数法，计算不动点集上$\nu$-坐标函数的Hessian矩阵，证明分岔点处的奇点是孤立的。
• 通过庞加莱映射的线性化和扰动项推导出分岔破坏的判据，将问题简化为一个由扰动沿未扰动轨道积分所导出的向量的非零条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，哈密顿系统中的跨临界分岔在小扰动下仍能持续？
• RQ2 在辛映射的秩-1分岔点附近，不动点集的局部结构如何表征？
• RQ3 庞加莱映射$P$-分量的Hessian矩阵在分类分岔类型（确定性、不定性、跨临界性）中起什么作用？
• RQ4 一般扰动能否破坏一个跨临界分岔？如果是，其精确的数学条件是什么？
• RQ5 如何利用庞加莱映射的雅可比矩阵和扰动项，在数值应用中算法性地测试分岔破坏？

主要发现

• 在一般扰动下，辛族中的跨临界分岔是结构不稳定的，意味着当系统稍作改变时，此类分岔通常不会持续。
• 在跨临界分岔点附近，不动点集$F$是局部光滑的一维子流形，但$F$上$\nu$-坐标函数在分岔点处具有孤立奇点。
• 限制在不动点集上的$\nu$-坐标函数的Hessian矩阵是非退化的，意味着奇点是孤立的，因此该分岔不属于连续的分岔族。
• 跨临界分岔被破坏的充要条件是向量$(c_1(T), c_2(T))$（由未扰动轨道上积分定义）不位于矩阵$\left(\begin{array}{cc} \varphi(T)-1 & \psi(T) \\ \dot\varphi(T) & \dot\psi(T)-1 \end{array}\right)$的核内，其中$\varphi, \psi$是线性化变分方程的解。
• 对于特定扰动$F(x,y,p_x,p_y) = x p_y - y p_x$，破坏判据简化为对周期$T$上$y(t) \dot\psi(t)$和$y(t) \dot\varphi(t)$积分所构成向量的非零条件。
• 分岔点处庞加莱映射的雅可比矩阵由线性化系统的基本解矩阵给出，从而可通过标准常微分方程理论显式计算破坏条件。