[论文解读] Mathematics and group theory in music

Athanase Papadopoulos|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2014

Musicology and Musical Analysis参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文展示了群论如何支撑奥利维耶·梅西安在20世纪音乐创作与理论上的创新，尤其是通过其有限转位音阶与非回溯节奏。通过分析对称性、置换与转位约束，本研究揭示了数学结构如何生成独特的和声色彩与调性模糊性，为梅西安独特音乐语言提供了形式基础，其根源在于数学上的不可能性与对音色联觉的审美感知。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to show through particular examples how group theory is used in music. The examples are chosen from the theoretical work and from the compositions of Olivier Messiaen (1908-1992), one of the most influential twentieth century composers and pedagogues. Messiaen consciously used mathematical concepts derived from symmetry and groups, in his teaching and in his compositions. Before dwelling on this, I will give a quick overview of the relation between mathematics and music. This will put the discussion on symmetry and group theory in music in a broader context and it will provide the reader of this handbook some background and some motivation for the subject. The relation between mathematics and music, during more than two millennia, was lively, widespread, and extremely enriching for both domains. This paper will appear in the Handbook of Group actions, vol. II (ed. L. Ji, A. Papadopoulos and S.-T. Yau), Higher Eucation Press and International Press.

研究动机与目标

• 证明群论如何构建梅西安的作曲技法与理论框架。
• 阐明梅西安有限转位音阶背后的数学基础，及其在制造调性模糊性中的作用。
• 将音乐中的历史数学概念（如毕达哥拉斯比例与对称性）与现代群论形式体系相联系。
• 探究数学约束如何在音乐中产生色彩感、神秘感与和声模糊性等感知效应。
• 将梅西安的作品置于更广泛的数学与音乐传统之中，强调对称性与变换在音乐形式与感知中的作用。

提出的方法

• 运用群论概念（如循环群与对称操作）分析梅西安的有限转位音阶。
• 应用置换群来模拟非回溯节奏，即节奏模式在反转后保持不变的特性。
• 使用转位闭包概念，定义那些无法超越有限种不同形式的音阶（例如最多六次转位）。
• 将音乐音程映射为毕达哥拉斯确立的数值比例，以在算术与对称性基础上奠定和声结构。
• 考察对称性在和声色彩中的作用，即重复转位产生不变的调性分布。
• 结合历史与现代研究（如Andreatta、Jedrzejewski）将梅西安的工作置于当代数学音乐理论的语境中。

实验结果

研究问题

• RQ1 群论如何形式化梅西安有限转位音阶的结构？
• RQ2 非回溯节奏在何种方式上体现了群论对称性在音乐创作中的应用？
• RQ3 对转位的数学约束如何促成梅西安音乐中调性模糊性与和声色彩的感知？
• RQ4 对称性与置换在塑造梅西安和声语言独特音色与空间特质中扮演何种角色？
• RQ5 历史数学传统（如毕达哥拉斯比例、欧几里得音程划分）如何影响梅西安作品中的群论结构？

主要发现

• 梅西安的有限转位音阶具有数学约束：每个音阶只能进行有限次转位（最多六次），从而形成封闭且对称的结构。
• 这些音阶并非音阶，而是和声色彩；其缺乏主音或终止音导致调性模糊，从而营造出空灵、印象派的氛围。
• 非回溯节奏在反转后保持不变，这一特性由群论对称性形式化，尤其体现在循环群的语境中。
• 将一个音阶转位超过少数几步在数学上是不可能的，梅西安却将此视为一种丰盈的魅力与和声色彩的来源。
• 梅西安将音乐音程与和弦感知为色彩，这是一种联觉体验，与从波德莱尔到斯克里亚宾的历史与艺术传统中音色对应的理念相契合。
• 本文建立了群论与音乐感知之间的正式联系，表明数学对称性既支撑了结构上的连贯性，也促成了梅西安作品中的审美效果。