[论文解读] Mathematics of domains

Harry G. Mairson, Michael A. Bukatin|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2002

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 36被引用 7

一句话总结

本文通过引入一种新颖的逻辑与度量框架，探讨了指称语义中域理论的基础性问题。研究结果表明，子域构成一个域，识别出有限重述，通过非自反逻辑推广信息体系，并引入共连续赋值以构建满足Scott连续性的松弛度量，从而解决了域理论中距离函数长期存在的问题。

ABSTRACT

Two groups of naturally arising questions in the mathematical theory of domains for denotational semantics are addressed. Domains are equipped with Scott topology and represent data types. Scott continuous functions represent computable functions and form the most popular continuous model of computations. Covariant logic of domains. Domains are represented as sets of theories, and Scott continuous functions are represented as input-output inference engines. The questions addressed are: (A) What constitutes a subdomain? Do subdomains of a given domain A form a domain? (B) Which retractions are finitary? (C) What is the essence of generalizations of information systems based on non-reflexive logics? Are these generalizations restricted to continuous domains? Analysis on domains. (D) How to describe Scott topologies via generalized distance functions satisfying the requirement of Scott continuity (“abstract computability”)? The answer is that the axiom ρ(x, x) = 0 is incompatible with Scott continuity of distance functions. The resulting relaxed metrics are studied. (E) Is it possible to obtain Scott continuous relaxed metrics via measures of domain subsets representing positive and negative information about domain elements? The positive answer is obtained via the discovery of the novel class of co-continuous valuations on the systems of Scott open sets. Some of these natural questions were studied earlier. However, in each case a novel approach is presented, and the answers are supplied with much more compelling and clear justifications, than were known before.

研究动机与目标

• 阐明一个域内子域的范畴结构，并确定其自身是否构成一个域。
• 刻画域理论中哪些重述是有限的，以解决域构造中的基础性问题。
• 研究基于非自反逻辑的信息体系的推广，并评估其在连续域中的适用性。
• 通过满足Scott连续性的松弛度量，发展一种抽象可计算性的概念，克服ρ(x,x)=0与Scott连续性之间的不相容性。
• 通过共连续赋值，建立正负信息度量与Scott连续松弛度量之间的联系。

提出的方法

• 将域表示为逻辑理论的集合，将Scott连续函数表示为输入-输出推理引擎。
• 应用序理论与拓扑方法，在Scott拓扑的背景下分析子域与重述。
• 通过放弃反射性公理ρ(x,x)=0，引入松弛度量，从而实现Scott连续性。
• 在Scott开集的格上定义并研究共连续赋值，以生成Scott连续的松弛度量。
• 使用非自反逻辑推广信息体系，并检验其与连续域的结构相容性。
• 应用测度论技术，通过正负信息表示域元素，将其与松弛度量构造联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么是子域，给定域A的子域是否构成一个域？
• RQ2 在域理论的语境下，哪些重述是有限的？
• RQ3 基于非自反逻辑的信息体系推广的本质是什么，其是否受限于连续域？
• RQ4 如何通过满足Scott连续性的广义距离函数描述Scott拓扑？
• RQ5 能否从表示域元素正负信息的测度中获得Scott连续的松弛度量？

主要发现

• 给定域A的子域确实构成一个域，为域层次结构提供了范畴基础。
• 通过序理论分析刻画了有限重述，更清晰地理解了域重述机制。
• 使用非自反逻辑推广的信息体系不限于连续域，从而拓宽了信息体系理论的适用范围。
• 公理ρ(x,x)=0与距离函数的Scott连续性不相容，因此必须采用松弛度量。
• 在Scott开集系统上的共连续赋值为构造Scott连续的松弛度量提供了新方法。
• 对域元素的正负信息的测度，通过新识别出的共连续赋值类，可导出Scott连续的松弛度量。