[论文解读] Mather invariant, distortion, and conjugates for diffeomorphisms of the interval

Hélène Eynard-Bontemps, Andrés Navas|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文建立了区间上 $C^2$ 微分同胚的 Mather不变量与渐近扭曲之间的精确联系，证明了渐近扭曲当且仅当端点为抛物不动点且 Mather 不变量平凡时消失。该结果解决了 $C^2$ 正则性下共轭类闭包的一个关键障碍，并进一步刻画了作为 $C^1$ 向量场时间-1映射的微分同胚。

ABSTRACT

We relate the Mather invariant of diffeomorphisms of the (closed) interval to their asymptotic distortion. For maps with only parabolic fixed points, we show that the former is trivial if and only if the latter vanishes. As a consequence, we obtain that such a diffeomorphism of the interval with no fixed point in the interior contains the identity in the closure of its C^{1+bv} conjugacy class if and only if it is the time-1 map of a C^1 vector field. A corollary of this is that diffeomorphisms that do not arise from vector fields are undistorted in the whole group of interval interval diffeomorphisms. Several related results in other regularity classes are obtained, and many open questions are addressed.

研究动机与目标

• 阐明 $C^2$ 区间微分同胚中 Mather 不变量与渐近扭曲之间的关系。
• 解决一个开放问题：具有无理旋转数的 $C^2$ 微分同胚的共轭类在 $C^2$ 闭包中是否包含对应的旋转。
• 通过渐近扭曲消失与 Mather 不变量平凡的条件，刻画 $C^2$ 微分同胚何时可表示为 $C^1$ 向量场的时间-1映射。
• 将结果应用于微分同胚群中扭曲元素的研究，特别是在 $C^2$ 拓扑下。

提出的方法

• 引入并分析 $f \in \mathrm{Diff}_+^{2,\Delta}([0,1])$ 的渐近扭曲，定义为 $\mathrm{dist}_\infty(f) := \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \mathrm{var}(\log Df^n)$。
• 使用 Mather 不变量 $M_f$，即模旋转的 $C^2$ 圆周微分同胚，其在 $C^1$ 共轭下不变，并在 $C^2$ 拓扑下连续。
• 建立沿 $f$ 固定的极小不变区间的渐近扭曲局部化公式，从而将问题约化为区间微分同胚的情形。
• 证明 $\mathrm{dist}_\infty(f) = 0$ 当且仅当 $f$ 具有抛物不动点且 Mather 不变量平凡，利用 Szekeeres 向量场的结构。
• 应用该结果证明：若 $f$ 的 $C^2$ 中心化子非循环，则恒等映射属于其共轭类的 $C^2$ 闭包。
• 利用 $C^1$ 共轭与逼近技术，通过导数的一致收敛性和 Riemann 和逼近，实现共轭序列的 $C^2$ 收敛性提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有无理旋转数的 $C^2$ 微分同胚的共轭类是否在其 $C^2$ 闭包中包含对应的旋转？
• RQ2 在 $C^2$ 区间微分同胚中，Mather 不变量与渐近扭曲之间的确切关系是什么？
• RQ3 在何种条件下，$C^2$ 微分同胚可表示为 $C^1$ 向量场的时间-1映射？
• RQ4 Mather 不变量平凡与端点抛物性是否足以完全刻画渐近扭曲的消失？
• RQ5 非循环的 $C^2$ 中心化子对共轭类闭包有何影响？

主要发现

• 对于 $f \in \mathrm{Diff}_+^{2,\Delta}([0,1])$，其渐近扭曲消失当且仅当端点为抛物不动点且 $f$ 的 Mather 不变量平凡。
• 恒等映射属于 $f$ 的 $C^{1+\mathrm{bv}}$ 共轭类闭包当且仅当 $f$ 的端点为抛物点且 Mather 不变量平凡。
• 若 $f \in \mathrm{Diff}_+^2([0,1])$ 的渐近扭曲消失，则当且仅当其可表示为在每个不动点处 $C^1$-平坦的 $C^1$ 向量场的时间-1映射。
• 若 $f$ 的 $C^2$ 中心化子大于无限循环群，则恒等映射属于其共轭类的 $C^2$ 闭包。
• 该结果证实了文献 [24] 中关于渐近扭曲在 $C^2$ 微分同胚共轭问题中作用的猜想。
• 本文通过 Mather 不变量与扭曲的相互作用，完整刻画了其共轭类在 $C^2$ 闭包中包含恒等映射的 $C^2$ 微分同胚。