[论文解读] Mathisson' spinning electron: noncommutative mechanics & exotic Galilean symmetry, 66 years ago

P. A. Horváthy|ArXiv.org|Mar 11, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文证明了马蒂森1937年提出的经典旋量电子的非相对论极限，可导出卢基尔斯基因、斯蒂赫尔与扎克泽夫斯基所提出的加速度依赖型非对易坐标模型。关键结果是推导出具有双重中心扩张的奇异伽利略对称性，将经典旋量粒子与非对易力学及Zitterbewegung动力学联系起来。

ABSTRACT

The acceleration-dependent system with noncommuting coordinates, proposed by Lukierski, Stichel and Zakrzewski [Ann. Phys. 260, 224 (1997)] is derived as the non-relativistic limit of Mathisson's classical electron [Acta Physica Polonica 6, 218 (1937)], further discussed by Weyssenhoff and Raabe [Acta Physica Polonica 9, 7 (1947)]. The two-parameter centrally extended Galilean symmetry of the model is recoved using elementary methods. The relation to Schrödinger's Zitternde Elektron is indicated.

研究动机与目标

• 通过从马蒂森1937年相对论性旋量电子模型推导，建立非对易力学的经典基础。
• 证明马蒂森方程的非相对论极限可重现卢基尔斯基因等人提出的加速度依赖型拉格朗日量。
• 使用初等方法恢复两参数中心扩张的伽利略对称性，确认该系统中其物理实现。
• 阐明模型内部动力学与薛定谔的Zitternde Elektron之间的联系，特别是通过Zitterbewegung机制。
• 分析自旋约束对不可约性的影响，以及在非相对论极限下奇异对称性的出现。

提出的方法

• 推导具有反对称自旋张量 $ S^{\alpha\beta} $ 的马蒂森相对论性旋量电子运动方程的非相对论极限，假设 $ S^{\alpha\beta}u_\beta = 0 $。
• 应用杰基夫-奈尔假设 $ s = \kappa c^2 $，将自旋大小 $ s $ 与非对易参数 $ \kappa $ 关联，以实现非相对论极限。
• 使用三阶方程 $ m\ddot{x}_i = -\kappa \epsilon_{ij} \dddot{x}_j $ 作为核心动力学定律，该式由马蒂森方程在非相对论区域导出。
• 引入质心坐标 $ X_i = x_i + \epsilon_{ij} Q_j $，其中 $ Q_i = - (\kappa/m)^2 \epsilon_{ij} \ddot{x}_j $，以分离自由运动与内部Zitterbewegung。
• 通过直接积分与时间导数分析，构造守恒量——动量 $ P_i $、能量 $ H $、角动量 $ J $、动量变化 $ K_i $ 与加速度大小 $ I $。
• 通过 $ \{X_1, X_2\} = \theta = \kappa / m^2 $ 重新解释系统为非对易坐标，确认非对易力学结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 卢基尔斯基因等人提出的加速度依赖型模型能否从经典相对论性旋量电子模型中导出？
• RQ2 马蒂森旋量电子的非相对论极限如何重现非对易力学与奇异伽利略对称性？
• RQ3 自旋约束 $ S^{\alpha\beta}u_\beta = 0 $ 在生成Zitterbewegung与非对易坐标中起什么作用？
• RQ4 为何一个不可约的庞加莱表示的非相对论极限会导出一个可约的伽利略表示？
• RQ5 Zitterbewegung运动如何与动量偏离 $ m\dot{x}_i $ 的内部动力学相关联？

主要发现

• 马蒂森1937年旋量电子模型的非相对论极限导出加速度依赖型拉格朗日量 $ L = \frac{m\dot{\vec{x}}^2}{2} + \frac{\kappa}{2} \dot{\vec{x}} \times \ddot{\vec{x}} $，该模型描述了具有非对易坐标的系统。
• 该系统表现出伽利略群的双重中心扩张，守恒量包括动量 $ P_i = m\dot{x}_i + \kappa \epsilon_{ij} \ddot{x}_j $、能量 $ H = \frac{m\dot{\vec{x}}^2}{2} + \kappa \dot{\vec{x}} \times \ddot{\vec{x}} $ 与动量变化 $ K_i = m x_i - t P_i + \kappa \epsilon_{ij} \dot{x}_j $。
• 内部运动由Zitterbewegung描述：向量 $ \vec{Q} $ 定义为 $ Q_i = - (\kappa/m)^2 \epsilon_{ij} \ddot{x}_j $，以角速度 $ m/\kappa $ 均匀旋转，导致平面内圆周运动。
• 质心坐标 $ \vec{X}_i = x_i + \epsilon_{ij} Q_j $ 满足 $ \ddot{X}_i = 0 $，证实质心作自由运动。
• 坐标的非对易性由 $ \{X_1, X_2\} = \theta = \kappa / m^2 $ 量化，直接通过杰基夫-奈尔假设将奇异对称性与自旋参数 $ \kappa $ 联系起来。
• 该模型的守恒加速度大小 $ I = \frac{\kappa^3}{2m^2} \ddot{\vec{x}}^2 $ 由三阶方程导出，证实存在超越标准对称性的新守恒量。