[论文解读] Mating of trees for random planar maps and Liouville quantum gravity: a survey

Ewain Gwynne, Nina Holden+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 160被引用 45

一句话总结

本综述提出了带装饰的随机平面图的树状配对双射，以及将 Liouville 量子引力（LQG）与 SLE 联系起来的 continuum mating-of-trees 定理，化为一对相关的布朗运动，并综述它们的众多应用。

ABSTRACT

We survey the theory and applications of mating-of-trees bijections for random planar maps and their continuum analog: the mating-of-trees theorem of Duplantier, Miller, and Sheffield (2014). The latter theorem gives an encoding of a Liouville quantum gravity (LQG) surface decorated by a Schramm-Loewner evolution (SLE) curve in terms of a pair of correlated linear Brownian motions. We assume minimal familiarity with the theory of SLE and LQG. Mating-of-trees theory enables one to reduce problems about SLE and LQG to problems about Brownian motion and leads to deep rigorous connections between random planar maps and LQG. Applications discussed in this article include scaling limit results for various functionals of decorated random planar maps, estimates for graph distances and random walk on (not necessarily uniform) random planar maps, computations of the Hausdorff dimensions of sets associated with SLE, scaling limit results for random planar maps conformally embedded in the plane, and special symmetries for $\sqrt{8/3}$-LQG which allow one to prove its equivalence with the Brownian map.

研究动机与目标

• 阐明并解释 mating-of-trees 理论及其 continuum 对应物。
• 回顾将带装饰的平面图编码为两棵成对树的离散双射及其尺度极限。
• 说明 continuum mating-of-trees 定理如何通过相关布朗运动将 gamma-LQG 表面及其 SLE 曲线编码。
• 综述在收敛、维数、嵌入以及特殊对称性方面的应用，并概述尚待解决的问题。

提出的方法

• 描述用于生成树装饰图的离散 Mullin 双射及其轮廓行编码。
• 描述对点状态独立渗透的无回路三角网的 Bernardi–Holden–Sun 双射以及相关的边界长度过程。
• 定义 Peano 曲线及编码装饰的对应两坐标轮廓行。
• 陈述并概述 Duplantier–Miller–Sheffield (DMS21) 的 continuum mating-of-trees 定理，将 gamma-LQG 与 SLE 与相关布朗运动联系起来。
• 讨论变体：圆盘情形和普通 SLE 情形，以及量子楔的共形焊接。
• 概述应用，包括收敛结果、mated-CRT 图以及嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 带装饰的随机平面图如何通过 mating-of-trees 框架进行编码，其 continuum 模式又是什么？
• RQ2 以相关布朗运动表示，gamma-LQG 表面被 SLE 装饰的精确 continuum 编码是什么？
• RQ3 在 LQG/SLE 设置下，mating-of-trees 定理对尺度极限、图距离和 Hausdorff 维数有何影响？
• RQ4 离散双射如何对应于 continuum 对象如 peanospheres 和 mated-CRT 图，以及它们在嵌入和维数方面的应用？
• RQ5 随机平面图、LQG 与 SLE 之间的相互作用中还存在哪些未解问题？

主要发现

• 存在一个将 gamma-LQG 表面及其 SLE 曲线编码为二维布朗运动的 continuum 编码，其相关系数为 -cos(pi gamma^2/4)。
• 在离散情形中的 mating-of-trees 双射收敛到 continuum 的 mating-of-trees 框架，将随机映射与 LQG 联系起来。
• 该理论支持随机平面图向 LQG 收敛的收敛性结果，并为共形嵌入与尺度极限提供依据。
• 应用包括对图距离的界、对装饰图上的随机游走行为的研究，以及 SLE 相关集合的 Hausdorff 维数计算。
• 在 gamma = sqrt(8/3) 时的特殊对称性在某些框架下导致与 Brownian map 的等价。
• 该综述概述了扩展到有限体积和无限体积情形的内容，并将其与 mated-CRT 图和 Tutte 嵌入联系起来。