[论文解读] Matrices of 3iet preserving morphisms

Petr Ambrož, Zuzana Masáková+1 more|ArXiv.org|Feb 12, 2007

semigroups and automata theory参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文刻画了保持3区间交换变换（3iet）词的态射的关联矩阵——特别是那些保持最大子词复杂度（2n+1）的态射。证明了此类矩阵满足条件 $\mathbf{M}\ mathbf{E}\ mathbf{M}^T = \pm \ mathbf{E}$，其中 $\ mathbf{E} = \begin{pmatrix} 0&1&1 \\ -1&0&1 \\ -1&-1&0 \ end{pmatrix}$，且行列式 $\ pm 1$ 意味着保持非退化的3iet词，而行列式为0则意味着退化。结果通过剪切与投影集动力学，将经典的斯图尔米安态射矩阵刻画推广至3iet情形。

ABSTRACT

We study matrices of morphisms preserving the family of words coding 3-interval exchange transformations. It is well known that matrices of morphisms preserving sturmian words (i.e. words coding 2-interval exchange transformations with the maximal possible factor complexity) form the monoid $\{\boldsymbol{M}\in\mathbb{N}^{2 imes 2} | \det\boldsymbol{M}=\pm1\} = \{\boldsymbol{M}\in\mathbb{N}^{2 imes 2} | \boldsymbol{M}\boldsymbol{E}\boldsymbol{M}^T = \pm\boldsymbol{E}\}$, where $\boldsymbol{E} = (\begin{smallmatrix}0&1 -1&0\end{smallmatrix})$. We prove that in case of exchange of three intervals, the matrices preserving words coding these transformations and having the maximal possible subword complexity belong to the monoid $\{\boldsymbol{M}\in\mathbb{N}^{3 imes 3} | \boldsymbol{M}\boldsymbol{E}\boldsymbol{M}^T = \pm\boldsymbol{E},\ \det\boldsymbol{M}=\pm 1\}$, where $\boldsymbol{E} = \Big(\begin{smallmatrix}0&1&1 -1&0&1 -1&-1&0\end{smallmatrix}\Big)$.

研究动机与目标

• 刻画保持3区间交换变换（3iet）词的态射的关联矩阵，特别是那些具有最大子词复杂度的态射。
• 将已知的斯图尔米安态射矩阵刻画（行列式 $\ pm 1$）推广至3iet情形。
• 阐明态射关联矩阵的行列式与其图像为非退化3iet词的关系。
• 通过代数数论工具，建立3iet词编码与剪切与投影集之间的联系。

提出的方法

• 作者将态射 $\varphi$ 的关联矩阵 $\ mathbf{M}_\varphi$ 定义为图像词中字母出现次数的计数矩阵。
• 他们利用已知的斯图尔米安态射矩阵刻画，即 $\ det \mathbf{M} = \pm 1$ 与辛条件 $\ mathbf{M} \mathbf{E} \mathbf{M}^T = \pm \mathbf{E}$，其中 $\ mathbf{E} = \begin{pmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}$。
• 对于3iet词，他们通过一个 $3\times 3$ 矩阵 $\ mathbf{E} = \begin{pmatrix} 0&1&1 \\ -1&0&1 \\ -1&-1&0 \end{pmatrix}$ 推导出一个新的辛条件，证明保持3iet的态射满足 $\ mathbf{M} \mathbf{E} \mathbf{M}^T = \pm \mathbf{E}$。
• 他们采用剪切与投影集理论，利用代数数域和环 $\ mathbb{Z}[\varepsilon]$，将态射动力学与几何投影联系起来。
• 他们应用 $\ mathbb{Z}[\varepsilon]$-模的性质以及由乘法 $\lambda = 1+2\varepsilon$ 诱导的双射，将集合上的变换与态射作用联系起来。
• 他们利用关于剪切与投影集中区间上点数的有界偏差的关键性断言，以控制图像中出现次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么特征刻画了保持最大子词复杂度的3iet词的态射的关联矩阵？
• RQ2 矩阵条件 $\ mathbf{M} \mathbf{E} \mathbf{M}^T = \pm \mathbf{E}$ 如何将斯图尔米安情形推广至3iet词？
• RQ3 关联矩阵的行列式在决定3iet词的图像是否保持非退化方面起什么作用？
• RQ4 如何利用剪切与投影集理论分析3iet词态射的动力学？

主要发现

• 保持3iet的态射的关联矩阵满足 $\ mathbf{M} \mathbf{E} \mathbf{M}^T = \pm \mathbf{E}$，其中 $\ mathbf{E} = \begin{pmatrix} 0&1&1 \\ -1&0&1 \\ -1&-1&0 \end{pmatrix}$。
• 如果关联矩阵的行列式为 $\ pm 1$，则该态射保持非退化的3iet词（即子词复杂度为 $2n+1$ 的词）。
• 如果行列式为0，则该态射将每个3iet词映射为退化图像（子词复杂度小于 $2n+1$）。
• 证明依赖于3iet词与剪切与投影集之间的联系，特别是利用环 $\ mathbb{Z}[\varepsilon]$ 中 $\lambda = 1+2\varepsilon$ 的乘法。
• 在投影区间中，一个词的出现次数随区间平移的变化量至多为有界常数，从而确保了态射图像计数的稳定性。
• 结果将经典的斯图尔米安态射矩阵刻画推广至3iet情形，建立了 $\ mathbb{N}^{3\times 3}$ 上新的类似辛结构。