[论文解读] Matrix Concentration for Expander Walks.

Ankit Garg, Nikhil Srivastava|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文为在扩展图上进行的随机游走所生成的矩阵值随机变量之和，建立了类似于切尔诺夫的矩阵集中不等式，证实了威格德森与肖关于偏差参数中对数因子的猜想。该证明利用了多矩阵形式的戈登-汤普森不等式，并改编了标量情形的论证方法，同时提出了一种从向量鞅集中到扩展图游走集中的通用约化方法，其中参数因平方混合时间而弱化。

ABSTRACT

We prove a Chernoff-type bound for sums of matrix-valued random variables sampled via a random walk on an expander, confirming a conjecture of Wigderson and Xiao up to logarithmic factors in the deviation parameter. Our proof is based on a recent multi-matrix extension of the Golden-Thompson inequality due to Sutter et al. \cite{Sutter2017}, as well as an adaptation of an argument for the scalar case due to Healy \cite{healy08}. Secondarily, we also provide a generic reduction showing that any concentration inequality for vector-valued martingales implies a concentration inequality for the corresponding expander walk, with a weakening of parameters roughly proportional to the squared mixing time.

研究动机与目标

• 为通过扩展图上的随机游走采样得到的矩阵值随机变量之和，建立类似于切尔诺夫的集中不等式。
• 在偏差参数的对数因子范围内，解决威格德森与肖关于扩展图游走中矩阵集中性的猜想。
• 通过高级矩阵不等式，将标量集中技术推广至矩阵设定。
• 提供从向量鞅集中到扩展图游走集中的通用约化方法，并量化参数退化程度。

提出的方法

• 利用苏特等人最近提出的多矩阵形式戈登-汤普森不等式，控制矩阵指数在矩阵集中设定中的迹。
• 将海利在标量情形下的论证方法改编至矩阵值随机游走，以在扩展图游走模型下推导尾部界。
• 应用矩阵形式的戈登-汤普森不等式，以界定游走路径上随机矩阵和的矩生成函数。
• 提出一种从向量值鞅集中到扩展图游走集中的通用约化方法，表明偏差参数因与平方混合时间成比例的因子而弱化。
• 将矩阵不等式框架与约化方法结合，实现对扩展图游走的主要集中结果。
• 运用随机矩阵理论与扩展图理论中的技术，分析游走诱导的矩阵和的谱性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为通过扩展图上随机游走生成的矩阵值随机变量之和建立类似于切尔诺夫的集中不等式？
• RQ2 此类矩阵的集中界在多大程度上符合威格德森与肖的猜想？尚存哪些因子？
• RQ3 在扩展图游走的背景下，如何将标量集中技术推广至矩阵设定？
• RQ4 向量鞅集中与扩展图游走集中之间存在何种一般关系？
• RQ5 扩展图的混合时间如何影响最终界中集中参数的取值？

主要发现

• 为通过扩展图上的随机游走采样得到的矩阵值随机变量之和，建立了类似于切尔诺夫的矩阵集中不等式，证实了威格德森与肖的猜想，其偏差参数中仅存在对数因子。
• 该证明依赖于戈登-汤普森不等式的多矩阵扩展，从而实现了对矩生成函数中矩阵指数迹的控制。
• 该方法将海利在标量情形下的论证方法改编至矩阵设定，将标量集中技术推广至扩展图上的矩阵值过程。
• 提出了一种通用约化方法，可将任意向量鞅集中不等式转化为扩展图游走的集中不等式，其中参数因与平方混合时间大致成比例的因子而弱化。
• 所得集中界表现出指数尾部衰减，偏差参数受对数因子影响，与当前矩阵集中理论的最先进水平一致。