[论文解读] Matrix factorizations and the Landau-Ginzburg/conformal field theory correspondence

Ana Ros Camacho|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 40被引用 5

一句话总结

该论文通过在 Landau-Ginzburg 模型中的矩阵因子化与 N=2 最小超顶点算子代数的表示范畴之间建立 2-范畴等价，为 Landau-Ginzburg/共形场论（LG/CFT）对应关系构建了一个精确的数学框架。证明了对于势能 $x^d$ 的矩阵双因子化范畴等价于 N=2 最小模型在层级 $d$ 的表示范畴，从而对缺陷进行了完整分类，并在此设定下确认了 LG/CFT 对应关系。

ABSTRACT

This is the author's PhD thesis, which focuses on the so-called Landau-Ginzburg/conformal field theory correspondence. This correspondence dates from the late 80s and early 90s in the physics literature and in particular, it predicts a relation between defects in Landau-Ginzburg models and defects in conformal field theories. This relation is supported by examples, but not understood in general, nor up to date is there a clear mathematical conjecture of the Landau-Ginzburg/conformal field theory correspondence. The pursuit of a precise mathematical statement of this conjecture continues to generate a rich mathematical output, and this PhD thesis is another contribution towards this end.

研究动机与目标

• . 本文旨在为 LG/CFT 对应关系提供一个严格的数学表述，该关系长期以来作为弦理论与代数几何之间的猜想性桥梁。
• . 解决了该对应关系缺乏一般性数学猜想的问题，特别是关于 Landau-Ginzburg 理论与共形场论中缺陷分类的问题。
• . 通过范畴等价，旨在统一矩阵因子化与有理共形场论，特别是在 N=2 最小模型的背景下。
• . 聚焦于 $x^d$ 类型势能的情形，构建了矩阵双因子化范畴与 N=2 最小超顶点算子代数在层级 $d$ 的表示范畴之间的完整等价。

提出的方法

• . 使用 2-范畴与双范畴框架来建模共形场论与 Landau-Ginzburg 模型，利用模范畴与辫状张量范畴。
• . 以矩阵因子化为核心工具，将其定义为配备满足 $d^2 = W - W'$ 的微分的 $\mathbb{Z}_2$-分次模，其中 $W$ 为超势能。
• . 构造一个从 Temperley-Lieb 范畴 $\mathrm{TL}_\kappa$ 到分次矩阵因子化范畴中 $\mathbb{Z}_d$-等变对象的张量函子。
• . 引入置换型矩阵双因子化概念，以建模 LG 模型中缺陷线及其融合。
• . 应用 orbifold 完备化与 orbifold 等价技术，关联不同 Landau-Ginzburg 模型，并在群作用下证明其等价性。
• . 利用表示范畴的普遍性质，建立 $\mathbb{Z}_d$-等变矩阵因子化范畴与范畴 $\mathcal{C}(N=2, d)_{\mathrm{NS}}$ 之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 . 如何将 LG/CFT 对应关系形式化为 Landau-Ginzburg 模型与共形场论中缺陷范畴之间的精确数学等价？
• RQ2 . $x^d$ 势能的矩阵因子化范畴的范畴结构是什么？它与 N=2 最小超顶点算子代数表示理论有何关联？
• RQ3 . 能否在矩阵双因子化范畴与 N=2 最小模型在层级 $d$ 的表示范畴之间构造出 2-范畴等价？
• RQ4 . 势能的 orbifold 等价性如何与它们相关共形场论的等价性相关联？
• RQ5 . 分次结构与等变结构在实现 LG/CFT 对应关系的完整范畴结构中起到何种作用？

主要发现

• . $x^d$ 势能的 $\mathbb{Z}_d$-等变矩阵因子化范畴等价于 N=2 最小超顶点算子代数在层级 $d$ 的表示范畴，记为 $\mathcal{C}(N=2, d)_{\mathrm{NS}}$。
• . 构造了一个从 Temperley-Lieb 代数 $\mathrm{TL}_\kappa$ 到 $\mathbb{Z}_d$-等变矩阵因子化范畴的张量函子，为缺陷融合规则提供了范畴实现。
• . 置换型矩阵双因子化的存在性使得能够对 LG 模型中的缺陷线及其融合进行完整描述，其结果与 CFT 侧的融合规则一致。
• . 对于简单奇点，建立了势能的 orbifold 等价性，表明 $x^d$ 在 $\mathbb{Z}_d$-作用下与其它势能 orbifold 等价，从而诱导其相关 CFT 的等价性。
• . 该构造通过矩阵因子化对有理 N=2 最小共形场论实现了完整分类，确认了在此情形下 LG/CFT 对应关系。
• . 该等价性被证明与 CFT 的模数据（包括 $S$-矩阵与融合规则）相容，其依据是表示范畴的普遍性质。