[论文解读] Matrix factorizations of correlation matrices and applications

Anupam Prakash, Antonios Varvitsiotis|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 2

一句话总结

本文引入了相关矩阵的矩阵值Gram分解，将其与量子信息理论中的克利福德代数联系起来。提供了完全正定半定矩阵具有次指数级cpsd-秩的存在性的简洁证明，推广了Tsirelson对极端相关性所需量子系统维度的下限 bound。

ABSTRACT

We introduce a notion of matrix valued Gram decompositions for correlation matrices whose study is motivated by quantum information theory. We show that for extremal correlations, the matrices in such a factorization generate a Clifford algebra and thus, their size is exponential in terms of the rank of the correlation matrix. Using this we give a self-contained and succinct proof of the existence of completely positive semidefinite matrices with sub-exponential cpsd-rank, recently derived in the literature. This fact also underlies and generalizes Tsirelson's seminal lower bound on the local dimension of a quantum system necessary to generate an extreme quantum correlation.

研究动机与目标

• 引入受量子信息理论启发的相关矩阵的矩阵值Gram分解。
• 通过其生成矩阵的代数结构分析极端量子相关性。
• 建立相关矩阵的秩与其分解中矩阵大小之间的联系。
• 提供完全正定半定矩阵具有次指数级cpsd-秩存在的自-contained证明。
• 推广Tsirelson对生成极端量子相关性所需局部量子维度的下限 bound。

提出的方法

• 将相关矩阵的矩阵值Gram分解定义为标准Gram分解的推广。
• 证明对于极端相关性，分解矩阵生成一个克利福德代数。
• 利用克利福德代数的代数性质来界定此类分解中最小矩阵大小。
• 推导出矩阵大小随相关矩阵秩的指数增长。
• 将此结构应用于分析相关矩阵的完全正定半定秩（cpsd-秩）。
• 利用代数框架重构并简化次指数级cpsd-秩存在性的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用矩阵值Gram分解分解极端相关性矩阵时，所需的最小矩阵大小是多少？
• RQ2 分解矩阵的代数性质如何约束量子相关性的结构？
• RQ3 能否通过代数方法证明存在具有次指数级cpsd-秩的完全正定半定矩阵？
• RQ4 支撑极端相关性的克利福德代数结构在多大程度上推广了Tsirelson的维度下限 bound？
• RQ5 相关矩阵的秩与其矩阵值分解的大小之间存在何种关系？

主要发现

• 对于极端相关性，分解中的矩阵生成一个克利福德代数，导致矩阵大小相对于相关矩阵秩呈指数增长。
• 本文提供了完全正定半定矩阵具有次指数级cpsd-秩存在的自-contained且简洁的证明。
• 该结果推广了Tsirelson关于生成极端量子相关性所需局部量子维度的开创性下限 bound。
• 矩阵值Gram分解揭示了极端量子相关性背后的深层代数结构。
• 克利福德代数与分解大小之间的联系确立了此类表示效率的根本限制。
• 该框架通过将其嵌入一致的代数设定中，统一并简化了先前关于cpsd-秩的研究结果。