[论文解读] Matrix Group Integrals, Surfaces, and Mapping Class Groups II: $\mathrm{O}\left(n ight)$ and $\mathrm{Sp}\left(n ight)$

Michael Magee, Doron Puder|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文为正交群与典型群中字词的矩阵群积分建立了在无穷远处的收敛洛朗级数展开，将系数与曲面上的映射及映射类群的 $ L^2 $-欧拉特征联系起来。研究揭示，这些系数在自由群的自同构下保持不变，推广了酉群的经典结果，并为随机正交矩阵与典型矩阵提供了新的普遍性与衰减速率结果。

ABSTRACT

Let $w$ be a word in the free group on $r$ generators. The expected value of the trace of the word in $r$ independent Haar elements of $\mathrm{O}(n)$ gives a function ${\cal T}r_{w}^{\mathrm{O}}(n)$ of $n$. We show that ${\cal T}r_{w}^{\mathrm{O}}(n)$ has a convergent Laurent expansion at $n=\infty$ involving maps on surfaces and $L^{2}$-Euler characteristics of mapping class groups associated to these maps. This can be compared to known, by now classical, results for the GUE and GOE ensembles, and is similar to previous results concerning $\mathrm{U}\left(n ight)$, yet with some surprising twists. A priori to our result, ${\cal T}r_{w}^{\mathrm{O}}(n)$ does not change if $w$ is replaced with $α(w)$ where $α$ is an automorphism of the free group. One main feature of the Laurent expansion we obtain is that its coefficients respect this symmetry under $\mathrm{Aut}(\mathrm{\mathbf{F}}_{r})$. As corollaries of our main theorem, we obtain a quantitative estimate on the rate of decay of ${\cal T}r_{w}^{\mathrm{O}}(n)$ as $n o\infty$, we generalize a formula of Frobenius and Schur, and we obtain a universality result on random orthogonal matrices sampled according to words in free groups, generalizing a theorem of Diaconis and Shahshahani. Our results are obtained more generally for a tuple of words $w_1,\ldots,w_\ell$, leading to functions ${\cal T}r_{w_{1},\ldots,w_{\ell}}^{\mathrm{O}}$. We also obtain all the analogous results for the compact symplectic groups $\mathrm{Sp}\left(n ight)$ through a rather mysterious duality formula.

研究动机与目标

• 推导独立于 $ \mathrm{O}(n) $ 与 $ \mathrm{Sp}(n) $ 上按哈尔测度分布的矩阵的字词的迹在 $ (n+1 - \alpha_G)^{-1} $ 中的收敛洛朗级数展开。
• 将该展开式的系数与曲面上的组合数据及映射类群的 $ L^2 $-欧拉特征联系起来。
• 证明洛朗展开尊重自由群的自同构对称性，即在 $ \mathrm{Aut}(\mathbf{F}_r) $ 下不变。
• 建立 $ \mathrm{O}(n) $ 与 $ \mathrm{Sp}(n) $ 之间的对偶性，通过 $ n \mapsto -2n $ 的变换实现在两组之间结果的转移。
• 推广经典结果，如弗罗贝尼乌斯–施劳尔公式与戴康尼斯–沙希萨尼的普遍性定理，适用于随机矩阵。

提出的方法

• 利用温格登计算法将矩阵积分表示为 $ n $ 的有理函数，从而实现无穷远处的洛朗级数展开。
• 通过字词匹配构造曲面上的组合映射，利用带符号匹配与曲面分解来编码迹积分的结构。
• 引入横截映射复形，一个编码可能非可定向曲面上映射的多单纯复形，以分析映射类群的 $ L^2 $-不变量。
• 应用 $ L^2 $-同调技术计算曲面映射的映射类群的 $ L^2 $-欧拉特征，将其与洛朗系数联系起来。
• 建立对偶公式：通过将 $ n \mapsto -2n $ 并乘以 $ (-1)^\ell $，可由 $ \mathrm{O}(n) $ 积分得到 $ \mathrm{Sp}(n) $ 积分。
• 利用迹积分在自由群自同构下的不变性，证明洛朗系数在 $ \mathrm{Aut}(\mathbf{F}_r) $ 作用下保持不变，这是关键的对称性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 $ \mathrm{O}(n) $ 中 $ r $ 个独立哈尔分布矩阵的字词的期望迹展开为 $ (n+1 - \alpha_{\mathrm{O}})^{-1} $ 的洛朗级数，且系数所编码的几何与群论数据为何？
• RQ2 映射类群的 $ L^2 $-欧拉特征在 $ \mathcal{Tr}^{\mathrm{O}}_{w_1,\ldots,w_\ell}(n) $ 的洛朗展开中起何作用，其与曲面上映射的关系为何？
• RQ3 $ \mathrm{O}(n) $ 与 $ \mathrm{Sp}(n) $ 之间的对偶性在矩阵积分及其洛朗展开的结构中如何体现？
• RQ4 洛朗级数的系数在自由群 $ \mathrm{Aut}(\mathbf{F}_r) $ 的自同构下在多大程度上保持不变，这一对称性意味着什么？
• RQ5 这些结果能否用于推广弗罗贝尼乌斯–施劳尔与戴康尼斯–沙希萨尼的随机矩阵系综的经典公式？

主要发现

• 函数 $ \mathcal{Tr}^{\mathrm{O}}_{w_1,\ldots,w_\ell}(n) $ 在 $ (n+1 - \alpha_{\mathrm{O}})^{-1} $ 中具有收敛洛朗级数展开，其中 $ \alpha_{\mathrm{O}} = 2 $，且系数以曲面上的映射及相应映射类群的 $ L^2 $-欧拉特征表示。
• 洛朗展开的系数在 $ \mathrm{Aut}(\mathbf{F}_r) $ 作用下保持不变，反映出迹积分在自由群自同构下的深层对称性。
• 对于 $ \mathrm{Sp}(n) $，积分 $ \mathcal{Tr}^{\mathrm{Sp}}_{w_1,\ldots,w_\ell}(n) $ 通过将 $ \mathrm{O}(n) $ 积分中的 $ n \mapsto -2n $ 并乘以符号因子 $ (-1)^\ell $ 得到，建立了出人意料的对偶性。
• 本文提供了当 $ n \to \infty $ 时 $ \mathcal{Tr}^{\mathrm{O}}_w(n) $ 的定量衰减速率，该速率由洛朗展开的首项导出。
• 获得了一个广义的弗罗贝尼乌斯–施劳尔公式，将经典特征和恒等式推广至正交群情形。
• 证明了一个普遍性结果：随机 $ \mathrm{O}(n) $ 矩阵中字词的分布收敛于 $ \mathrm{O}(n) $ 上的哈尔测度，将戴康尼斯–沙希萨尼定理推广至自由群中的任意字词。