[论文解读] Matrix Models and Geometry of Moduli Spaces

Leonid Chekhov|ArXiv.org|Sep 1, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 18

一句话总结

本文提出了一种用于离散化黎曼曲面模空间 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$ 的矩阵模型公式，采用包含 $\Lambda$、$X$ 和对数项的特定势能。该研究证明，该模型的划分函数在偶数时间 $t^\pm_{2n}$ 的表达下，可分解为一个类似 Kontsevich 的生成函数与一个二次微分算子的乘积，且离散空间上的交点数与连续模空间在最高阶上同调类中的交点数一致。

ABSTRACT

We give the description of discretized moduli spaces (d.m.s.) $\Mcdisc$ introduced in \cite{Ch1} in terms of discrete de Rham cohomologies for moduli spaces $\Mgn$. The generating function for intersection indices (cohomological classes) of d.m.s. is found. Classes of highest degree coincide with the ones for the continuum moduli space $\Mc$. To show it we use a matrix model technique. The Kontsevich matrix model is the generating function in the continuum case, and the matrix model with the potential $Nα r {\bigl(- \fr 14 ŁXŁX -\fr12\log (1-X)-\fr12X\bigr)}$ is the one for d.m.s. In the latest case the effects of Deligne--Mumford reductions become relevant, and we use the stratification procedure in order to express integrals over open spaces $\Mdisc$ in terms of intersection indices, which are to be calculated on compactified spaces $\Mcdisc$. We find and solve constraint equations on partition function $\cal Z$ of our matrix model expressed in times for d.m.s.: $t^\pm_m= r \fr{\d^m}{\dł^m}\fr1{\e^ł-1}$. It appears that $\cal Z$ depends only on even times and ${\cal Z}[t^\pm_\cdot]=C(åN) \e^{\cal A}\e^{F(\{t^{-}_{2n}\}) +F(\{-t^{+}_{2n}\})}$, where $F(\{t^\pm_{2n}\})$ is a logarithm of the partition function of the Kontsevich model, $\cal A$ being a quadratic differential operator in $\dd{t^\pm_{2n}}$.

研究动机与目标

• 使用离散德拉姆上同调描述离散化模空间 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$ 的几何结构。
• 推导一个矩阵模型，其划分函数可生成这些离散化模空间上的交点指标。
• 证明离散空间上的最高阶上同调类与连续空间 ${\overline{\cal M}}_{g,n}$ 上的类一致。
• 通过 $1/(e^\lambda - 1)$ 的 $\lambda$ 微分定义的时间 $t^{\pm}_m$，求解划分函数 $\cal Z$ 上的约束方程。
• 建立划分函数的因子分解形式，包含 Kontsevich 模型的对数划分函数与一个二次微分算子。

提出的方法

• 使用势能 $N\alpha\,{\rm tr}\left(-\frac{1}{4}\Lambda X\Lambda X - \frac{1}{2}\log(1-X) - \frac{1}{2}X\right)$ 的矩阵模型，以模拟离散化模空间。
• 应用分层程序，将开空间 ${\cal M}_{g,n}^{\text{disc}}$ 上的积分与紧化空间 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$ 上的交点指标联系起来。
• 定义时间 $t^{\pm}_m = {\rm tr}\left( \frac{\partial^m}{\partial \lambda^m} \frac{1}{e^\lambda - 1} \right)$ 以参数化划分函数。
• 推导划分函数 $\cal Z$ 上的约束方程，并通过生成函数技术求解。
• 将 $\cal Z$ 表达为 $C(\alpha N)\,{\rm e}^{\cal A} \,{\rm e}^{F(\{t^{-}_{2n}\}) + F(\{-t^{\pm}_{2n}\})}$，其中 $F$ 为 Kontsevich 模型的对数划分函数。
• 通过 $\alpha$ 和 $N$ 的微扰展开计算低亏格项，对一个 puncture 的亏格 2 情况进行了显式计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用离散德拉姆上同调描述离散化模空间 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$？
• RQ2 何种矩阵模型势能可生成这些离散化模空间上的交点数？
• RQ3 离散空间上的最高阶上同调类是否与连续模空间 ${\overline{\cal M}}_{g,n}$ 上的类一致？
• RQ4 通过 $1/(e^\lambda - 1)$ 的 $\partial^m / \partial \lambda^m$ 定义的时间 $t^{\pm}_m$ 如何约束划分函数 $\cal Z$？
• RQ5 划分函数 $\cal Z$ 是否可分解为 Kontsevich 模型部分与一个二次微分算子的乘积？

主要发现

• 矩阵模型的划分函数 $\cal Z$ 仅依赖于偶数时间 $t^{\pm}_{2n}$，表明系统具有对称性。
• 划分函数可因子分解为 $\cal Z[t^{\pm}_{\cdot}] = C(\alpha N)\,{\rm e}^{\cal A}\,{\rm e}^{F(\{t^{-}_{2n}\}) + F(\{-t^{+}_{2n}\})}$，其中 $F$ 为 Kontsevich 模型划分函数的对数。
• 二次微分算子 $\cal A$ 作用于时间 $t^{\pm}_{2n}$，对 Kontsevich 模型的贡献进行修正。
• 离散化模空间 ${\overline{\cal M}}_{g,n}^{\text{disc}}$ 重现了与连续空间 ${\overline{\cal M}}_{g,n}$ 相同的最高阶交点数。
• 对于一个 puncture 的亏格 2 情况，系数 $\langle\tau_4\rangle_2 = \frac{1}{1152}$ 被显式计算为 $w_2(\lambda)$ 微扰展开中的首项。
• $w(\lambda)$ 在 $\alpha$ 和 $N$ 上的微扰展开给出了 $\cal F_1$、$\cal F_2$ 和 $\cal F_3$，以奇数时间 $\xi^\pm_{2n+1}$ 表示，与已知的 Kontsevich 模型结果一致。