[论文解读] Matrix-Product Complementary dual Codes

Xiusheng Liu, Hualu Liu|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 17

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过有限域上的矩阵积码构造线性互补对偶（LCD）码，利用拟正交矩阵和特定矩阵结构确保LCD性质。主要贡献是给出了矩阵积码为LCD的充分条件，从而实现了具有良好参数的LCD码的显式构造，包括在 $\mathbb{F}_{13}$ 和 $\mathbb{F}_{5^2}$ 上长度达68、最小距离至少为9的示例。

ABSTRACT

Linear complementary dual codes (LCD) are linear codes satisfying $C\cap C^{\perp}=\{0\}$. Under suitable conditions, matrix-product codes that are complementary dual codes are characterized. We construct LCD codes using quasi-orthogonal matrices. Some asymptotic results are derived.

研究动机与目标

• 开发新的构造方法，生成具有良好参数的线性互补对偶（LCD）码。
• 刻画矩阵积码为LCD的条件，尤其关注矩阵结构和码的性质。
• 通过利用矩阵积框架和拟正交矩阵，扩展现有的LCD码构造方法。
• 提供具有高最小距离和有利长-维比的LCD码的显式示例。
• 探索使用矩阵积方法构造优质LCD码的渐近行为和可行性。

提出的方法

• 本文使用有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的矩阵积码 $C = [C_1, \dots, C_s]A$，其中 $A$ 是具有特定结构特性的 $s \times m$ 矩阵。
• 引入非奇异列（NSC）矩阵和满行秩（FRR）矩阵的概念，以确保矩阵积码继承LCD性质。
• 构造依赖于条件 $C \cap C^\perp = \{0\}$，通过双码分析和矩阵求逆技术进行验证。
• 应用变换 $C^{(l)}$，并将厄米特对偶与 $C^{(l)}$ 的欧几里得对偶相关联，从而在厄米特设定下使用已知的LCD判别准则。
• 使用特定矩阵如 $A = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}$ 和 $A = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{pmatrix}$，从已知的LCD分量码生成新的LCD码。
• 通过矩阵求逆和双码关系推导理论结果，特别利用 $(A^{-1})^T$ 将 $C^\perp$ 表示为分量码双码的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的矩阵积码 $[C_1, \dots, C_s]A$ 是LCD码？
• RQ2 如何利用NSC或FRR矩阵等矩阵结构来保证矩阵积码的LCD性质？
• RQ3 能否系统性地使用拟正交矩阵来构造具有改进参数的新LCD码？
• RQ4 从已知的LCD分量码构造的矩阵积LCD码的最小距离和维数界是什么？
• RQ5 随着分量数量的增加，此类矩阵积LCD码的渐近性质如何表现？

主要发现

• 矩阵积码 $C = [C_1, C_2, C_3, C_4]A$，其中 $A = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}$，是 $\mathbb{F}_{5^2}$ 上的厄米特LCD码，参数为 $[68, 26, \geq 17]_{5^2}$。
• 矩阵积码 $C = [C_1, C_1, C_2, C_2]A$，其中 $A = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{pmatrix}$，是 $\mathbb{F}_{5^2}$ 上的厄米特LCD码，参数为 $[68, 34, \geq 9]_{5^2}$。
• 在 $\mathbb{F}_{13}$ 上，矩阵积码 $[C_1, C_2, C_3, C_4]A$，其中 $A = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}$，产生一个参数为 $[40, 11, \geq 2]_{13}$ 的LCD码。
• 对于二元码，定理4.4表明，当 $A = \begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}$ 时，$C = [C_1, C_1, C_2]A$ 在 $\mathbb{F}_2$ 上产生一个参数为 $[30, 18, \geq 4]_2$ 的LCD码。
• 本文证明，若 $C_1$ 和 $C_2$ 是 $\mathbb{F}_2$ 上的LCD码，参数分别为 $[10,8,2]_2$ 和 $[10,2,5]_2$，则所得的矩阵积码维数为 $2k_1 + k_2 = 18$，最小距离至少为 $\min\{2d_1, d_2\} = 4$。
• 理论结果确认，若矩阵 $A$ 为NSC且分量码为LCD，则矩阵积码 $C$ 是LCD，从而保证 $C \cap C^\perp = \{0\}$。