[论文解读] Matrix Product Density Operators: when do they have a local parent Hamiltonian?

Chi-Fang Chen, Kohtaro Kato+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2020

Quantum many-body systems参考文献 36被引用 8

一句话总结

本文研究了由Y形完全正映射构造的矩阵乘积密度算符（MPDOs）是否可以是局部母哈密顿量的吉布斯态。通过分析条件互信息（CMI）的指数衰减，作者证明了对于具有平凡可纠正代数的双随机且严格正的通道，CMI呈指数衰减，这意味着存在一个准局部母哈密顿量。他们进一步提出了一个量子数据处理不等式猜想，若成立，可将此结果推广至所有此类通道。

ABSTRACT

We study whether one can write a Matrix Product Density Operator (MPDO) as the Gibbs state of a quasi-local parent Hamiltonian. We conjecture this is the case for generic MPDO and give supporting evidences. To investigate the locality of the parent Hamiltonian, we take the approach of checking whether the quantum conditional mutual information decays exponentially. The MPDO we consider are constructed from a chain of 1-input/2-output (`Y-shaped') completely-positive maps, i.e., the MPDO have a local purification. We derive an upper bound on the conditional mutual information for bistochastic channels and strictly positive channels and show that it decays exponentially if the correctable algebra of the channel is trivial. We also introduce a conjecture on a quantum data processing inequality that implies the exponential decay of the conditional mutual information for every Y-shaped channel with trivial correctable algebra. We additionally investigate a close but nonequivalent cousin: MPDO measured in a local basis. We provide sufficient conditions for the exponential decay of the conditional mutual information of the measured states and numerically confirm they are generically true for certain random MPDO.

研究动机与目标

• 确定矩阵乘积密度算符（MPDOs）在何种条件下可成为局部母哈密顿量的吉布斯态。
• 将条件互信息（CMI）的衰减作为母哈密顿量局域性的代理指标进行分析。
• 为由Y形通道导出的MPDOs建立CMI指数衰减的充分条件。
• 研究可纠正代数和恢复通道在决定CMI行为中的作用。
• 将结果扩展至测量MPDOs，并探讨随机哈密顿门通道下衰减条件普遍性的数值证据。

提出的方法

• 分析由单输入/双输出完全正映射（Y形通道）构造的MPDOs，其具有局部纯化结构。
• 使用条件互信息（CMI）作为量子关联的度量，其指数衰减作为准局域性的标志。
• 应用强数据处理不等式（DPI）常数及CMI的迹范数变体，以界关联衰减。
• 采用希尔伯特投影度量和广义量子维兰特定理，统一界定向完全正映射序列的压缩比。
• 在平凡可纠正代数条件下，推导双随机和严格正通道的CMI上界。
• 提出一个完全压缩DPI的猜想，若成立，将意味着所有具有平凡可纠正代数的Y形通道的CMI均呈指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Y形通道满足何种条件时，所生成MPDO的条件互信息呈指数衰减？
• RQ2 对于具有平凡可纠正代数的Y形通道所构造的通用MPDO，CMI的指数衰减能否被严格证明？
• RQ3 在这些设定下，CMI的迹范数变体是否表现出与标准CMI相同的衰减行为？
• RQ4 可纠正代数在决定MPDO中CMI衰减速率方面起什么作用？
• RQ5 在测量MPDO中，CMI指数衰减的充分条件是否通常对随机哈密顿门通道成立？

主要发现

• 对于具有平凡可纠正代数的双随机Y形通道，条件互信息随系统尺寸呈指数衰减。
• 通过2-范数的强数据处理不等式及CMI在扰动下的连续性，建立了CMI的指数衰减。
• 对于具有遗忘特性的通道，在对衰减常数施加弱假设下，证明了CMI的指数衰减。
• 提出一个猜想，若成立，将意味着所有具有平凡可纠正代数的Y形通道的CMI均呈指数衰减。
• 数值证据表明，当通道由哈密顿随机酉生成时，测量MPDO中CMI指数衰减的充分条件通常成立。
• 在所有分析情形中，CMI的迹范数变体的界不劣于标准CMI。