[论文解读] Matrix product operator algebras I: representations of weak Hopf algebras and projected entangled pair states

András Molnár, Alberto Ruiz-de-Alarcón+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2022

Quantum-Dot Cellular Automata被引用 9

一句话总结

本文建立了一套全面的框架，将矩阵乘积算子（MPO）代数与弱霍普夫代数联系起来，证明了半单典范弱霍普夫代数是可‘穿引’代数。它展示了如何通过霍普夫代数的MPO表示，在统一的数学形式下构造基塔耶夫的量子双模型和莱文-温的弦网模型，揭示了它们通过MPO对称性和大衛夫双代数表示所共有的拓扑结构。

ABSTRACT

Matrix Product Operators (MPOs) are tensor networks representing operators acting on 1D systems. They model a wide variety of situations, including communication channels with memory effects, quantum cellular automata, mixed states in 1D quantum systems, or holographic boundary models associated to 2D quantum systems. A scenario where MPOs have proven particularly useful is to represent algebras of non-trivial symmetries. Concretely, the boundary of both symmetry protected and topologically ordered phases in 2D quantum systems exhibit symmetries in the form of MPOs. In this paper, we develop a theory of MPOs as representations of algebraic structures. We establish a dictionary between algebra and MPO properties which allows to transfer results between both setups, covering the cases of pre-bialgebras, weak bialgebras, and weak Hopf algebras. We define the notion of pulling-through algebras, which abstracts the minimal requirements needed to define topologically ordered 2D tensor networks from MPO algebras. We show, as one of our main results, that any semisimple pivotal weak Hopf algebra is a pulling-trough algebra. We demonstrate the power of this framework by showing that they can be used to construct Kitaev's quantum double models for Hopf algebras solely from an MPO representation of the Hopf algebra, in the exact same way as MPO symmetries obtained from fusion categories can be used to construct Levin-Wen string-net models, and to explain all their topological features; it thus allows to describe both Kitaev and string-net models on the same formal footing.

研究动机与目标

• 建立代数结构（预双代数、弱双代数、弱霍普夫代数）与矩阵乘积算子（MPO）表示之间的系统性词典。
• 定义并表征‘穿引代数’作为在二维张量网络中实现拓扑序的最小代数结构。
• 证明半单典范弱霍普夫代数满足穿引条件，从而能够构造出具有拓扑序的模型。
• 通过霍普夫代数的MPO表示，统一描述基塔耶夫的量子双模型与莱文-温的弦网模型。
• 表明C*-霍普夫代数的大衛夫双代数在MPO-注入PEPS上作为对称代数作用，任意任何子激发可实现为该代数的不可约表示。

提出的方法

• 引入图形张量演算记号以表示MPO及其代数运算，实现对算子复合与对称性的可视化推理。
• 定义预双代数与弱双代数的MPO表示，表明余半单性与余中心元素分别对应于关联矩阵乘积态的注入性与非退化性。
• 引入‘穿引代数’的概念，作为在张量网络中定义拓扑序所需代数结构的推广。
• 证明任意半单典范弱霍普夫代数均为穿引代数，确立了拓扑序的必要条件。
• 构造C*-霍普夫代数A*的大衛夫双代数D(A*)，并通过作用于张量网络缺陷的算子Bf(p,v)与Aw(p,v)，在MPO-注入PEPS上定义D(A*)的表示。
• 证明这些算子的作用将任意任何子实现为大衛夫双代数的不可约表示，任意任何子统计性质编码于MPO算子的代数交换关系中。

实验结果

研究问题

• RQ1 拓扑序二维量子系统中MPO对称性的代数结构基础是什么？
• RQ2 ‘穿引’概念如何被抽象为代数形式，以表征张量网络中拓扑序的最小要求？
• RQ3 是否可以仅通过霍普夫代数的MPO表示来构造基塔耶夫的量子双模型，而无需事先知道哈密顿量？
• RQ4 MPO-注入PEPS如何实现任意任何子激发？大衛夫双代数在此实现中起什么作用？
• RQ5 MPO表示的形式化框架在多大程度上能够统一描述不同拓扑相，如基塔耶夫与莱文-温模型所描述的相？

主要发现

• 证明了半单典范弱霍普夫代数为穿引代数，为从MPO代数构造具有拓扑序的二维张量网络提供了必要且充分的条件。
• C*-霍普夫代数A*的大衛夫双代数D(A*)在MPO-注入PEPS上作为对称代数作用，哈密顿量项Bf(p,v)与Aw(p,v)在缺陷空间上构成D(A*)的表示。
• 该模型中的任意任何子被识别为大衛夫双代数D(A*)的不可约表示分支，其编织与耦合规则编码于MPO算子的代数交换关系中。
• 证明了基塔耶夫哈密顿量的plaquette项Bp等于任意围绕plaquette的顶点v处的Bω(p,v)，其中ω为A*的哈尔积分，确认了基于MPO的构造的一致性。
• 该框架允许从同一霍普夫代数的MPO表示中构造出基塔耶夫的量子双模型与莱文-温的弦网模型，统一了它们的代数描述。
• 明确计算了MPO算子在缺陷上的作用：Bf(p,v)通过用ψ(f(2))共轭缺陷张量并应用f(1)(x(1)) · f(3) ◦ S(x(3))实现，而Aw(p,v)通过右乘w实现，保持了MPO结构。