[论文解读] Matrix Product Operators, Matrix Product States, and ab initio Density Matrix Renormalization Group algorithms

Garnet Kin‐Lic Chan, Anna Keselman+3 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用 36

一句话总结

本文在从头算密度矩阵重整化群（DMRG）方法的两种形式化体系之间建立了严格的数学与计算桥梁：传统的重整化算符语言与现代的矩阵乘积算符（MPO）/矩阵乘积态（MPS）形式化体系。它展示了两种实现方式的等价性，实现了高效的MPO基DMRG扫掠，并引入了两项算法改进——哈密顿量压缩与算符求和表示——从而实现了完美的计算并行性并降低了纠缠维度。

ABSTRACT

Current descriptions of the ab initio DMRG algorithm use two superficially different languages: an older language of the renormalization group and renormalized operators, and a more recent language of matrix product states and matrix product operators. The same algorithm can appear dramatically different when written in the two different vocabularies. In this work, we carefully describe the translation between the two languages in several contexts. First, we describe how to efficiently implement the ab-initio DMRG sweep using a matrix product operator based code, and the equivalence to the original renormalized operator implementation. Next we describe how to implement the general matrix product operator/matrix product state algebra within a pure renormalized operator-based DMRG code. Finally, we discuss two improvements of the ab initio DMRG sweep algorithm motivated by matrix product operator language: Hamiltonian compression, and a sum over operators representation that allows for perfect computational parallelism. The connections and correspondences described here serve to link the future developments with the past, and are important in the efficient implementation of continuing advances in ab initio DMRG and related algorithms.

研究动机与目标

• 将从头算DMRG中的传统重整化算符方法与现代MPO/MPS形式化体系相统一。
• 在保持与原始重整化算符方法等价的前提下，实现基于MPO的代码高效执行DMRG扫掠。
• 展示如何在纯基于重整化算符的DMRG框架内实现通用的MPO/MPS代数。
• 引入两项算法改进——哈密顿量压缩与算符求和表示——这些改进源于MPO语言的启发。
• 通过优化子哈密顿量的定义与冗余消除，降低计算成本与纠缠维度。

提出的方法

• 推导了在DMRG扫掠过程中，重整化算符与MPO在MPS上的部分迹之间的等价性。
• 利用MPO基表示，通过部分收缩计算期望值，而无需显式构造完整MPO。
• 提出了一种哈密顿量的算符求和表示，使子哈密顿量可独立处理，从而实现完美的计算并行性。
• 通过将具有相同最右端算符的项分组，提出了一种子哈密顿量 $\hat{H}_m$ 的替代定义，以减少冗余。
• 分析了不同MPO表示下的纠缠维度 $D(k)$，并推导出渐近量级：$\bar{D}_1 = \frac{2}{3}K^2$，$\bar{D}_4 = \frac{5}{3}K^2$，以及 $\bar{D}_5 = K^2$。
• 利用 $\hat{T}_2$ 和 $\hat{T}_4$ 算符的递推关系，估计了主导纠缠维度：当 $k < m$ 时，$D(m,k) = 2(2m - k)$；当 $k > m$ 时，$D(m,k) = 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将从头算DMRG中的传统重整化算符形式化体系映射到MPO/MPS语言？
• RQ2 将哈密顿量表示为算符之和与表示为单个MPO，分别在计算与结构上会产生何种影响？
• RQ3 哈密顿量压缩与算符求和表示是否能提升DMRG算法的并行性并降低纠缠维度？
• RQ4 子哈密顿量定义（$\hat{H}_m$）的选择如何影响有效纠缠维度与计算成本？
• RQ5 算符冗余对MPO基DMRG实现中纠缠维度的定量影响是什么？

主要发现

• 基于MPO的DMRG扫掠在形式上等价于原始的重整化算符实现，支持二者互换使用。
• 算符求和表示使子哈密顿量可独立处理，从而实现完美的计算并行性。
• 哈密顿量压缩是可行且有益的，可减少需存储与处理的项数。
• 在标准 $\hat{H}_m$ 定义中，$a^{R\backslash}$ 和 $a^{R\backslash}$ 算符的冗余使用使平均纠缠维度增至 $\bar{D}_4 = \frac{5}{3}K^2$，高于基准值 $\bar{D}_1 = \frac{2}{3}K^2$。
• 通过重新定义 $\hat{H}_m$，将具有相同最右端算符的项分组后，平均纠缠维度降低至 $\bar{D}_5 = K^2$，相比 $\bar{D}_4$ 显著改善。
• 改进定义下的纠缠维度 $D_5(k)$ 随 $k$ 线性衰减，表达式为 $D_5(k) = O(2K^2 - 2kK)$，其平均值 $\bar{D}_5 = K^2$ 与基于冗余消除的解析估计一致。