[论文解读] Matrix product state techniques for two-dimensional systems at finite temperature

Benedikt Bruognolo, Zhenyue Zhu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Quantum many-body systems参考文献 48被引用 30

一句话总结

该论文表明，矩阵乘积态（MPS）技术——在高温下采用密度矩阵纯化，在低温下采用极小纠缠典型热态（METTS）算法——能够实现对二维量子自旋系统的精确有限温模拟。该方法在三角形海森伯反铁磁体和一个受挫的 $J_1$-$J_2$ XXZ 模型上取得了当前最先进的结果，通过 METTS 提取临界温度，并表明使用交换门的 Suzuki-Trotter 分解是二维簇中虚时演化最准确且高效的方法。

ABSTRACT

The density matrix renormalization group is one of the most powerful numerical methods for computing ground-state properties of two-dimensional (2D) quantum lattice systems. Here we show its finite-temperature extensions are also viable for 2D, using the following strategy: At high temperatures, we combine density-matrix purification and numerical linked-cluster expansions to extract static observables directly in the thermodynamic limit. At low temperatures inaccessible to purification, we use the minimally entangled typical thermal state (METTS) algorithm on cylinders. We consider the triangular Heisenberg antiferromagnet as a first application, finding excellent agreement with other state of the art methods. In addition, we present a METTS-based approach that successfully extracts critical temperatures, and apply it to a frustrated lattice model. On a technical level, we compare two different schemes for performing imaginary-time evolution of 2D clusters, finding that a Suzuki-Trotter decomposition with swap gates is currently the most accurate and efficient.

研究动机与目标

• 将矩阵乘积态（MPS）技术扩展至二维（2D）量子系统的有限温模拟，克服传统方法（如量子蒙特卡洛（QMC）和级数展开）的局限性。
• 通过不受 sign 问题影响的基于 MPS 的方法解决受挫自旋系统中的 sign 问题，从而进入原本难以处理的参数区域。
• 开发并基准化一种混合方法：在高温下使用密度矩阵纯化，在低温下使用 METTS，以确保覆盖整个温度范围。
• 利用基于 METTS 的方法精确提取二维系统中的临界温度，特别是对具有竞争相互作用的模型。
• 比较并优化 MPS 有限温模拟中二维簇的虚时演化方案，识别出最高效且准确的方法。

提出的方法

• 在高温下使用密度矩阵纯化，通过虚时演化计算热密度矩阵，应用 U(1)-自旋对称性和开放边界条件。
• 极小纠缠典型热态（METTS）算法将虚时演化与蒙特卡洛采样相结合，用于进入纯化方法失效的低温区域。
• 采用二阶 Suzuki-Trotter 分解并结合交换门进行虚时演化，结果表明该方法在二维簇中最为准确且高效。
• 应用数值链接簇展开（NLCE），采用矩形簇分组和二次序排列，从有限尺寸簇中提取热力学极限可观测量。
• 通过 $N_x=8$ 和 $N_x=16$ 圆柱体的测量结果进行体-圆柱体外推，以最小化 METTS 模拟中的有限长度效应。
• 通过自助重采样计算统计误差条，以考虑各阶矩之间的相关性，尤其针对如 Binder 累积量等复杂可观测量。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于 MPS 的有限温方法能否在强受挫和 sign 问题存在的情况下，对二维量子自旋系统实现当前最先进的精度？
• RQ2 在二维系统中，密度矩阵纯化与 METTS 在不同温度区域的性能和精度如何比较？
• RQ3 基于 METTS 的方法能否可靠地提取二维模型中的临界温度，包括具有额外受挫相互作用的模型？
• RQ4 在 MPS 模拟中，二维簇虚时演化的最优方案是什么？其对精度和计算成本有何影响？
• RQ5 在二维系统中，结合 MPS 技术的数值链接簇展开（NLCE）在多大程度上能为有限温可观测量提供可靠的热力学极限结果？

主要发现

• 在半满条件下，三角形海森伯反铁磁体与其它最先进的方法结果高度一致，验证了 MPS 方法的有效性，尽管存在严重的 sign 问题。
• 对于正方晶格上的 $J_1$-$J_2$ XXZ 模型，基于 METTS 的方法成功以高精度提取临界温度，与可用的 QMC 结果一致。
• METTS 算法使我们能够将低温区域扩展至 $T=0.25$，在 $16\times 4$ 圆柱体上实现，而纯化方法在 $N_y=4$ 圆柱体上 $T \approx 0.8$ 以下即因键维度过高而不可行。
• METTS 所需的最大键维数在 $T \geq 0.25$ 时保持在 $m=2000$ 以下，而纯化在低温下需 $m \gg 7000$，导致计算上不可行。
• Suzuki-Trotter 分解结合交换门被发现是二维簇中虚时演化最准确且高效的方法，优于其他替代方案。
• 在圆柱体两端施加局域钉扎场对于抑制自旋壁形成、确保序参量和临界温度的明确确定至关重要。