[论文解读] Matrix recovery from bilinear and quadratic measurements

Michalina Pacholska, Adam Scholefield+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2020

Blind Source Separation Techniques参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文研究从双线性和二次测量中恢复矩阵的问题，表明在特定结构假设下——尤其是当测量向量构成类似多项式序列时——双线性问题可通过仅增加线性数量的额外测量实现线性化。关键贡献是为连续定位和时间编码机提供了可证明的唯一恢复条件，使用 $ N \geq K(D+2)-1 $ 个测量值和 $ \sum \min(k_m, K) \geq K(D+1) $，确保以高概率实现精确重构。

ABSTRACT

Matrix (or operator) recovery from linear measurements is a well-studied problem. However, there are situations where only bilinear or quadratic measurements are available. A bilinear or quadratic problem can easily be transformed into a linear one, but it raises questions when the linearized problem is solvable and what is the cost of linearization. In this work, we study a few specific cases of this general problem and show when the bilinear problem is solvable. Using this result and certain properties of polynomial rings, we present a scenario when the quadratic problem can be linearized at the cost of just a linear number of additional measurements. Finally, we link our results back to two applications that inspired it: Time Encoding Machines and Continuous Localisation.

研究动机与目标

• 解决仅能获取双线性或二次测量而非标准线性测量时的矩阵恢复问题。
• 确定双线性测量系统可解的条件，以及线性化过程仅需线性数量额外测量的条件。
• 为连续定位和时间编码机等应用建立唯一矩阵恢复的充分条件。
• 将多项式环与框架的结构联系起来，以确保双线性和二次矩阵恢复问题的可解性。
• 为具有混合双线性和二次测量的系统中实际信号恢复提供理论基础。

提出的方法

• 利用向量化和迹恒等式将双线性和二次测量转化为线性系统：$ b_n = \text{vec}(\boldsymbol{g}_n\boldsymbol{f}_n^T)^T \text{vec}(\boldsymbol{C}) + \text{vec}(\boldsymbol{f}_n\boldsymbol{f}_n^T)^T \text{vec}(\boldsymbol{L}) $。
• 将测量向量 $ \boldsymbol{f}_n $ 建模为时间参数 $ t $ 的函数，从而可使用多项式或带限函数空间。
• 利用多项式环和框架理论的性质，分析测量向量及其外积的线性无关性。
• 应用定理1表明，若 $ \boldsymbol{g}_n $ 来源于不共面的锚点，且 $ \boldsymbol{f}_n $ 张成 $ K $-维空间，则 $ \boldsymbol{C} $ 可被唯一恢复。
• 利用引理4证明线性化系统中双线性和二次分量之间的线性无关性。
• 基于锚点使用建立恢复条件：$ \sum_{m=0}^{M-1} \min(k_m, K) \geq K(D+1) $，以确保测量的充分多样性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当一组向量构成框架，另一组为两两不同的向量时，矩阵在何种条件下可从双线性测量中唯一恢复？
• RQ2 双线性矩阵恢复问题是否可仅通过线性数量的额外测量实现线性化？何种结构假设可实现这一点？
• RQ3 多项式环的性质与框架理论如何相互作用，以确保线性化系统的可解性？
• RQ4 在连续定位中，从距离测量中保证唯一恢复所需的最少测量数是多少？
• RQ5 在何种情况下，线性化系统能保持原始非线性矩阵恢复问题的解？

主要发现

• 当 $ \boldsymbol{g}_n $ 来源于不共面的锚点，且 $ \boldsymbol{f}_n $ 为时间参数化的线性无关向量时，双线性测量系统是可解的。
• 当测量向量 $ \boldsymbol{f}_n $ 取自 $ K $-维多项式或带限函数空间时，二次问题的线性化仅需线性数量的额外测量。
• 在连续定位中，若可用测量数满足 $ N \geq K(D+2) - 1 $，则轨迹矩阵 $ \boldsymbol{C} $ 的唯一恢复以概率1成立。
• 条件 $ \sum_{m=0}^{M-1} \min(k_m, K) \geq K(D+1) $ 是通过线性化系统实现唯一恢复的必要且充分条件。
• 当测量向量 $ \boldsymbol{f}_n $ 取自 $ K $-维空间时，线性化系统中双线性和二次分量线性无关，确保系统矩阵满秩。
• 该理论框架通过将非线性测量转化为具有最小开销的可解线性系统，实现了时间编码机和连续定位系统中的精确恢复。