[论文解读] Matrix-valued truncated Toeplitz operators: unbounded symbols, kernels and equivalence after extension

Ryan O’Loughlin|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Dec 1, 2020

Holomorphic and Operator Theory参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过修改上境域以绕过技术难题，提出了一种针对具有无界符号的矩阵值截断托普利茨算子（MTTOs）的新方法。研究证明，此类MTTO的核与一个$S^*$-不变子空间等距同构，并在扩展后构造出一个等价的托普利茨算子，通过酉等价关系将结果推广至多维截断维纳-霍普夫算子。

ABSTRACT

This paper studies matrix-valued truncated Toeplitz operators, which are a vectorial generalisation of truncated Toeplitz operators. It is demonstrated that, although there exist matrix-valued truncated Toeplitz operators without a matrix symbol in $L^p$ for any $p \in (2, \infty ]$, there is a wide class of matrix-valued truncated Toeplitz operators which possess a matrix symbol in $L^p$ for some $p \in (2, \infty ]$. In the case when the matrix-valued truncated Toeplitz operator has a symbol in $L^p$ for some $p \in (2, \infty ]$, an approach is developed which bypasses some of the technical difficulties which arise when dealing with problems concerning matrix-valued truncated Toeplitz operators with unbounded symbols. Using this new approach, two new notable results are obtained. The kernel of the matrix-valued truncated Toeplitz operator is expressed as an isometric image of an $S^*$-invariant subspace. Also, a Toeplitz operator is constructed which is equivalent after extension to the matrix-valued truncated Toeplitz operator. In a different yet overlapping vein, it is also shown that multidimensional analogues of the truncated Wiener-Hopf operators are unitarily equivalent to certain matrix-valued truncated Toeplitz operators.

研究动机与目标

• 为解决分析具有无界符号的矩阵值截断托普利茨算子（MTTOs）时面临的技术难题。
• 开发一种新方法，以绕过MTTO理论中因无界符号而产生的限制。
• 将具有$L^p$-符号项（$p \in (2, \infty]$）的MTTO的核表征为$S^*$-不变子空间的等距像。
• 构造一个在扩展后与给定MTTO等价的托普利茨算子。
• 通过酉等价关系，建立多维截断维纳-霍普夫算子与特定MTTO之间的等价性。

提出的方法

• 引入一种上境域修改技术，将MTTO转化为更易于分析的形式。
• 利用Beurling-Lax定理及 Hardy 空间中的正交分解，将模型空间$K_\Theta$表征为$S^*$-不变子空间。
• 将MTTO定义为$A_G^\Theta(f) = P_\Theta(Gf)$，其中$f \in K_\Theta \cap (H^\infty)^n$，$G$为矩阵符号。
• 证明当$G \in L^{(p,n\times n)}$且$p \in (2, \infty]$时，经修改的算子允许通过$S^*$-不变子空间的等距像对核进行表征。
• 通过酉等价与延拓技术构造一个新的托普利茨算子，使其与MTTO的谱行为相匹配。
• 应用傅里叶变换与Cayley变换，将单位圆上的MTTO与实轴上的截断维纳-霍普夫算子联系起来，证明在$n\times n$情形下存在酉等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有无界符号的矩阵值截断托普利茨算子的核能否以$S^*$-不变子空间的形式表征？
• RQ2 即使符号不属于$L^\infty$，是否可能构造一个在扩展后与MTTO等价的标准托普利茨算子？
• RQ3 多维截断维纳-霍普夫算子与矩阵值截断托普利茨算子之间存在何种关系？
• RQ4 如何通过修改MTTO的上境域实现对无界符号算子的分析？
• RQ5 在何种条件下，截断维纳-霍普夫算子与MTTO酉等价？

主要发现

• 当符号$G \in L^{(p,n\times n)}$且$p \in (2, \infty]$时，MTTO的核与一个$S^*$-不变子空间等距同构。
• 构造了一个在扩展后与MTTO等价的新托普利茨算子，从而建立了谱联系。
• 通过包含傅里叶变换与Cayley变换的酉变换，多维截断维纳-霍普夫算子与特定MTTO之间存在酉等价。
• 该方法通过将无界符号的MTTO约化为等价的$L^p$-符号情形问题，使得对这类算子的分析成为可能。
• 结果可推广至标量情形，甚至为经典截断托普利茨算子提供了新见解。
• 截断维纳-霍普夫算子与MTTO之间的等价性可扩展至$n\times n$矩阵情形，其在MIMO系统与积分方程中有应用。