[论文解读] Matrix weighted Poincaré inequalities and applications to degenerate elliptic systems

Joshua Isralowitz, Kabe Moen|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用 10

一句话总结

本文建立了由矩阵 $A_p$ 权重控制的退化椭圆方程组的矩阵加权 Poincaré 不等式与 Sobolev 不等式，推广了 Fabes、Kenig 和 Serapioni 的经典结果。证明了弱解的存在性、正则性及 Hölder 连续性，以及在矩阵加权 $L^p$ 空间中 Riesz 与分数次极大算子的有界性，提出了完整的矩阵 $A_{p,q}$ 理论。

ABSTRACT

We prove Poincaré and Sobolev inequalities in matrix A${}_p$ weighted spaces. We then use these Poincaré inequalities to prove existence and regularity results for degenerate systems of elliptic equations whose degeneracy is governed by a matrix A${}_p$ weight. Such results parallel earlier results by Fabes, Kenig, and Serapioni for a single degenerate equation governed by a scalar A${}_p$ weight. In addition, we prove Cacciopoli and reverse Hölder inequalities for weak solutions of the degenerate systems. As a means to prove the Poincaré inequalities we prove that the Riesz potential and fractional maximal function operators are bounded on matrix weighted $L^p$ spaces and go on to develop an entire matrix A${}_{p, q}$ theory.

研究动机与目标

• 将经典的 Poincaré 与 Sobolev 不等式推广至由矩阵 $A_p$ 权重控制的退化椭圆方程组。
• 为这类系统建立弱解的存在性与 Hölder 正则性。
• 在加权 $L^p$ 空间中，为 Riesz 与分数次极大算子发展完整的矩阵 $A_{p,q}$ 理论。
• 将 Fabes、Kenig 与 Serapioni 的标量 $A_p$ 结果推广至 $n \neq d$ 的矩阵加权系统。

提出的方法

• 利用矩阵 $A_p$ 条件，对 $\vec{f} \in C_0^1(Q)$ 证明矩阵加权 Poincaré 不等式，且对特征 $[W]_{A_p}$ 具有精确依赖关系。
• 通过 $L^p(W)$ 空间中的对偶性与外推技术，建立矩阵加权 Sobolev 不等式。
• 利用 Cacciòpeli 不等式与反向 Meyers-Hölder 不等式，控制退化系统中梯度与解的范数。
• 应用矩阵 $A_p$ 条件，证明 Riesz 积分算子与分数次极大算子在 $L^p(W)$ 上的有界性。
• 通过加权范数不等式，为退化系统的弱解导出先验估计。
• 通过将标量加权结果推广至矩阵权重，构建完整的矩阵 $A_{p,q}$ 理论，包括精确的算子界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Poincaré 与 Sobolev 不等式能否推广至由矩阵 $A_p$ 权重而非标量权重控制的退化椭圆方程组？
• RQ2 此类矩阵加权退化系统的弱解是否具有 Hölder 连续性？若成立，其条件为何？
• RQ3 Riesz 积分算子与分数次极大算子在矩阵加权 $L^p$ 空间上是否为有界算子？其算子范数如何依赖于 $[W]_{A_p}$？
• RQ4 能否为矩阵权重建立类似于标量情形的完整 $A_{p,q}$ 理论？
• RQ5 Poincaré 常数对矩阵 $A_p$ 特征 $[W]_{A_p}$ 的最优依赖关系为何？

主要发现

• 对于 $1 < p < ∞$，存在 $\epsilon \approx [W]_{A_p}^{-\max\{1, p'/p\}}$ 与 $C \approx [W]_{A_p}^{\max\{1+2p'/p, 2+p'/p\}}$，使得矩阵加权 Poincaré 不等式成立：$\left(\frac{1}{|Q|}\int_Q |W^{1/p}(x)\vec{f}(x)|^{p+\epsilon}\,dx\right)^{1/(p+\epsilon)} \lesssim |Q|^{1/d} \left(\int_Q \|W^{1/p}(x)D\vec{f}(x)\|^{p-\epsilon}\,dx\right)^{1/(p-\epsilon)}$。
• Cacciòpeli 不等式对退化系统的弱解 $\vec{u}$ 成立：$\int_{B_r} \|W^{1/p} D\vec{u}\|^p \,dx \lesssim \int_{B_r} \|W^{-1/p} F\|^{p'} \,dx + \frac{1}{r^p} \int_{B_r \setminus B_{r/2}} |W^{1/p} \vec{u}|^p \,dx$。
• 证明了反向 Meyers-Hölder 不等式，表明 $\|W^{1/p} D\vec{u}\|_{L^p(B_{r/2})} \lesssim \|W^{-1/p} F\|_{L^{p'}(B_r)} + \|W^{1/p} D\vec{u}\|_{L^{p-\epsilon}(B_r)}$。
• 当 $W$ 为矩阵 $A_p$ 权重时，Riesz 积分算子与分数次极大算子在 $L^p(W)$ 上有界，其算子范数依赖于 $[W]_{A_p}$。
• 建立了弱解的 Hölder 正则性：当 $p \geq d$ 时，有 $|\vec{u}(x) - \vec{u}(y)| \lesssim C_{x,y} R^{-d(2-1/p)\epsilon} |x-y|^{1/d - 1/p + \epsilon}$，其中 $C_{x,y}$ 依赖于 $W^{-1/p}$ 的局部 $L^{p'}$ 范数。
• 发展了完整的矩阵 $A_{p,q}$ 理论，将标量加权结果推广至矩阵权重，包含精确的算子界与外推原理。