[论文解读] Matroids, antimatroids, and the generalized external order

Bryan R. Gillespie|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 21被引用 1

一句话总结

本文引入了拟阵独立复形上的广义外部序，扩展了Las Vergnas的活动序。证明该偏序集构成一个超可解的保并分配格，该格细化了拟阵的几何格（平坦格），唯一刻画了此类格为拟阵外部序的结构，并通过构造揭示了拟阵与反拟阵的极小元之间的对偶性。

ABSTRACT

Las Vergnas's active orders are a collection of partial orders on the bases of a matroid which are derived from the classical notion of matroid activity. In this paper, we construct a generalization of Las Vergnas's external order which is defined on the independence complex of a matroid. We show that this poset is a refinement of the geometric lattice of flats of the matroid, and has the structure of a supersolvable join-distributive lattice. We uniquely characterize the lattices which are isomorphic to the external order of a matroid, and we explore a correspondence between matroid and antimatroid minors which arises from the poset construction.

研究动机与目标

• 将Las Vergnas的活动序——最初定义在拟阵基上——推广至整个独立复形的构造。
• 确立广义外部序构成一个超可解的保并分配格，该格细化了拟阵的平坦格。
• 通过结构性质刻画与拟阵外部序同构的格类。
• 探索由偏序集构造引发的拟阵极小元与反拟阵极小元之间的对应关系。

提出的方法

• 使用广义的外部活动概念，在拟阵的独立集上构造一个偏序。
• 通过固定基点或元素的排序，利用字典序或贪心序，将外部序定义为平坦格的细化。
• 通过分析序理想和不可约元的结构，证明该偏序集是保并分配的。
• 通过识别一条包含所有模元素的最大链，证明其超可解性。
• 利用偏序集的结构，通过删除与收缩操作，定义拟阵极小元与反拟阵极小元之间的对偶性。
• 通过普遍性质和同构唯一性，刻画外部序格。

实验结果

研究问题

• RQ1 Las Vergnas的活动序如何从拟阵基推广至整个独立复形？
• RQ2 广义外部序具有何种结构性质，其与拟阵平坦格的关系如何？
• RQ3 哪些格可以实现为某个拟阵的外部序？其特征是什么？
• RQ4 是否存在由偏序集构造自然诱导的拟阵极小元与反拟阵极小元之间的对应关系？
• RQ5 外部序如何反映底层拟阵的组合与序理论性质？

主要发现

• 广义外部序构成一个超可解的保并分配格，该格细化了拟阵的几何格（平坦格）。
• 该偏序集结构唯一刻画了外部序为与拟阵同构的格，提供了一个格论不变量。
• 该构造通过删除与收缩下的偏序集分解，揭示了拟阵极小元与反拟阵极小元之间的对偶性。
• 外部序被证明是保并分配的，即其序理想在交与并运算下表现良好。
• 偏序集的构造保持了拟阵的组合层次结构，将平坦格嵌入为商偏序集。
• 广义外部序将经典的活动概念扩展至所有独立集，而不仅限于基，从而丰富了拟阵理论的序论框架。