[论文解读] Max Weight Independent Set in Graphs with No Long Claws: An Analog of the Gyárfás' Path Argument

Konrad Majewski, Tomáš Masařík+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文提出了一种时间复杂度为 $2^{O(√n \log n)}$ 的亚指数时间算法，以及一种时间复杂度为 $2^{O(\varepsilon^{-1} \log^5 n)}$ 的准多项式时间近似方案（QPTAS），用于解决排除一个细分爪形图 $S_{t,t,t}$ 作为诱导子图的图中的最大权独立集问题。关键技术贡献是为 $S_{t,t,t}$-自由图构造了 Gyárfás 路径论证的类比：在多项式时间内，可以找到一个大小为 $O(t \log n)$ 的顶点集合 $P$，使得剩余图具有扩展条带分解，其中每个粒子的顶点数不超过原图的一半，从而支持高效的分治递归。

ABSTRACT

We revisit recent developments for the Maximum Weight Independent Set problem in graphs excluding a subdivided claw $S_{t,t,t}$ as an induced subgraph [Chudnovsky, Pilipczuk, Pilipczuk, Thomassé, SODA 2020] and provide a subexponential-time algorithm with improved running time $2^{\mathcal{O}(\sqrt{n}\log n)}$ and a quasipolynomial-time approximation scheme with improved running time $2^{\mathcal{O}(\varepsilon^{-1} \log^{5} n)}$. The Gyárfás' path argument, a powerful tool that is the main building block for many algorithms in $P_t$-free graphs, ensures that given an $n$-vertex $P_t$-free graph, in polynomial time we can find a set $P$ of at most $t-1$ vertices, such that every connected component of $G-N[P]$ has at most $n/2$ vertices. Our main technical contribution is an analog of this result for $S_{t,t,t}$-free graphs: given an $n$-vertex $S_{t,t,t}$-free graph, in polynomial time we can find a set $P$ of $\mathcal{O}(t \log n)$ vertices and an extended strip decomposition (an appropriate analog of the decomposition into connected components) of $G-N[P]$ such that every particle (an appropriate analog of a connected component to recurse on) of the said extended strip decomposition has at most $n/2$ vertices.

研究动机与目标

• 为排除一个细分爪形图 $S_{t,t,t}$ 作为诱导子图的图中的最大权独立集（MWIS）问题开发更快速的算法。
• 将 $P_t$-自由图算法中的基石——Gyárfás 路径论证——推广到 $S_{t,t,t}$-自由图类。
• 在移除一个小邻域后，提供一种结构分解——扩展条带分解——确保每个分量（粒子）的大小至多为原图的一半。
• 改进先前针对 $S_{t,t,t}$-自由图中 MWIS 问题的 QPTAS 和亚指数算法的运行时间界限。

提出的方法

• 为 $S_{t,t,t}$-自由图引入 Gyárfás 路径论证的类比：在多项式时间内，计算一个大小为 $O(t \log n)$ 的顶点集合 $P$，使得 $G - N[P]$ 具有扩展条带分解。
• 将扩展条带分解定义为连通分量的推广，其中每个‘粒子’是可递归处理的子图。
• 利用该分解设计递归分支算法：在每一步，要么对 $N[P]$ 进行分支，要么在大小至多为 $n/2$ 的粒子上递归。
• 应用 QPTAS 框架，通过猜测一个‘重’粒子或一条将权重分布均分的路径，确保递归深度为对数级别。
• 利用任何扩展条带分解中粒子数量至多为 $n$ 的事实，实现对候选分解的 $n^{O(\log n)}$ 枚举。
• 通过涉及 $\beta(h, \varepsilon)$ 的递推关系对递归树进行递归分析，其中 $\beta(h, \varepsilon)$ 是与深度 $h$ 和近似参数 $\varepsilon$ 相关的函数，从而界定了总运行时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 Gyárfás 路径论证从 $P_t$-自由图推广到 $S_{t,t,t}$-自由图？
• RQ2 何种结构分解使得 $S_{t,t,t}$-自由图中能够实现高效的分治？
• RQ3 能否改进 $S_{t,t,t}$-自由图中 MWIS 问题的 QPTAS 和亚指数算法的运行时间？
• RQ4 是否存在一个大小为常数的集合 $P$，使得 $G - N[P]$ 可分解为大小至多为 $\varepsilon |V(G)|$ 的粒子？

主要发现

• 本文提出了一种针对 $S_{t,t,t}$-自由图中 MWIS 问题的亚指数时间算法，其运行时间为 $2^{O(\sqrt{n} \log n)}$。
• 对于任意 $\varepsilon > 0$，实现了时间复杂度为 $2^{O(\varepsilon^{-1} \log^5 n)}$ 的准多项式时间近似方案（QPTAS）。
• 主要技术成果是：存在一个在多项式时间内计算大小为 $O(t \log n)$ 的集合 $P$ 的算法，使得 $G - N[P]$ 具有扩展条带分解，且所有粒子的大小至多为原图的一半。
• QPTAS 中候选解集合的大小被限制为 $n^{O(\log n)}$，从而支持高效枚举。
• 该方法将 Gyárfás 路径论证推广至 $S_{t,t,t}$-自由图，使得能够设计出深度为对数级别的递归算法。
• 作者猜想：存在一个大小为常数的集合 $P$，使得 $G - N[P]$ 可分解为大小至多为 $\varepsilon |V(G)|$ 的粒子，这将导致一个多项式时间算法。