[论文解读] Maximal $\bf L^p$ analysis of finite element solutions for parabolic equations with nonsmooth coefficients in convex polyhedra

Buyang Li, Weiwei Sun|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文建立了在凸多面体域中具有非光滑系数的抛物方程的伽辽金有限元解的最优 $ L^p $ 误差估计以及离散最大 $ L^p $ 正则性。通过证明离散半群的解析性，并利用扩散系数具有 $ W^{1,N+\beta} $-正则性条件下的加权 $ L^p $ 估计，本文在不引入对数因子的前提下实现了最优收敛速率，将最大 $ L^p $ 理论推广至非光滑系数的情形。

ABSTRACT

The paper is concerned with Galerkin finite element solutions for parabolic equations in a convex polygon or polyhehron with a diffusion coefficient in $W^{1,N+ε}$ for some $ε>0$, where $N$ denotes the dimension of the domain. We prove the analyticity of the semigroup generated by the discrete elliptic operator, the discrete maximal $L^p$ regularity and the optimal $L^p$ error estimate of the finite element solution for the parabolic equation.

研究动机与目标

• 建立具有非光滑系数的抛物方程的有限元解的离散最大 $ L^p $ 正则性。
• 在凸多面体域中，证明伽辽金有限元方法的最优 $ L^p $ 误差估计。
• 将最大 $ L^p $ 分析推广至扩散系数属于 $ W^{1,N+\beta} $（$ \beta > 0 $）的情形，放宽光滑性假设。
• 通过利用系数的 $ W^{1,N+\beta} $-正则性与区域凸性，消除误差估计中的对数因子。
• 在系数的正则性假设最小化的前提下，为 $ L^p $-范数下的有限元解提供统一的分析框架。

提出的方法

• 证明由有限元算子 $ A_h $ 生成的离散半群 $ \{E_h(t)\}_{t>0} $ 的解析性，确保在 $ L^p $-范数下的稳定性。
• 建立离散预解估计 $ \| (\lambda + A_h)^{-1} v_h \|_{L^\infty} \leq C \lambda^{-1} \| v_h \|_{L^\infty} $，其中 $ \lambda \in \Sigma_{\varphi + \pi/2} $，该估计对最大正则性至关重要。
• 利用加权 $ L^p $-估计与 $ L^q $ 上的 Riesz 变换有界性，推导出 $ \| \nabla u_h \|_{L^p((0,T);L^q)} \leq C \| f \|_{L^p((0,T);L^q)} $，这是最大 $ L^p $ 正则性的核心。
• 通过局部 $ L^q $-范数对 $ \nabla u $ 的控制，利用 De Giorgi-Nash-Moser 理论与 $ W^{1,N+\beta} $-正则性，应用 Riesz 变换有界性判据。
• 利用嵌入关系 $ W^{1,s} \hookrightarrow L^q $ 与 $ L^s \hookrightarrow W^{-1,q} $（其中 $ s = qN/(q+N) $）来控制能量估计中的低阶项。
• 采用截断函数技巧与迭代缩放方法，推导出局部 $ L^q $-范数估计 (A.10)，该估计蕴含 Riesz 变换的有界性，从而保证最大正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在凸多面体域中，对于具有非光滑系数的抛物有限元格式，是否可以建立离散最大 $ L^p $ 正则性？
• RQ2 当扩散系数仅属于 $ W^{1,N+\beta} $ 而非 $ C^2 $ 时，有限元解的 $ L^p $ 误差估计是否仍保持最优？
• RQ3 在系数具有 $ W^{1,N+\beta} $-正则性且区域为凸的前提下，是否可以消除先前误差估计中的对数因子？
• RQ4 在系数具有 $ W^{1,N+\beta} $-正则性且区域为凸多面体的前提下，Riesz 变换 $ \nabla A^{-1/2} $ 是否在 $ L^q(\Omega) $ 上有界？
• RQ5 为确保抛物方程有限元解的最优 $ L^p $ 收敛率，系数 $ a $ 的精确正则性条件是什么？

主要发现

• 由有限元算子 $ A_h $ 生成的离散半群 $ \{E_h(t)\}_{t>0} $ 在 $ L^\infty \cap S_h $ 上是解析的，且其范数有与网格尺寸无关的统一界。
• 离散最大 $ L^p $ 正则性估计成立：对所有 $ 1 < p,q < \infty $，有 $ \| \partial_t u_h \|_{L^p((0,T);L^q)} + \| A_h u_h \|_{L^p((0,T);L^q)} \leq C_{p,q} \| f \|_{L^p((0,T);L^q)} $，且不包含对数因子。
• 获得最优 $ L^p $ 误差估计：在 $ a $ 具有 $ W^{1,N+\beta} $-正则性条件下，有 $ \| P_h u - u_h \|_{L^p((0,T);L^q)} \leq C_{p,q} ( \| P_h u^0 - u_h^0 \|_{L^q} + \| P_h u - R_h u \|_{L^p((0,T);L^q)} ) $。
• 若系数 $ a \in W^{1,N+\beta}(\Omega) $ 且 $ \Omega $ 为凸区域，则 Riesz 变换 $ \nabla A^{-1/2} $ 在 $ L^q(\Omega) $ 上有界（$ 1 < q < \infty $），这是最大正则性的关键条件。
• 通过迭代缩放与 $ W^{1,s} \hookrightarrow L^q $ 嵌入关系，建立了方程 $ A u = 0 $ 的解的局部 $ L^q $-范数控制 (A.10)，从而证实了 Riesz 变换的有界性。
• 结果适用于 $ N = 2,3 $，且在给定的系数正则性条件下，该方法可推广至一般的凸多面体域，消除了以往对光滑性的限制。