[论文解读] Maximal commutative subalgebras, Poisson geometry and Hochschild homology

Tomasz Maszczyk|ArXiv.org|Mar 15, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文构建了一个谱序列，其极限为由极大交换子代数导出的几乎交换代数的Hochschild同调，其$E^2$-页通过关联的分次Poisson代数与模的典范Poisson同调计算得出。该构造通过极大交换子代数诱导的滤子，将Poisson几何与Hochschild同调联系起来，借助微分包络与Poisson模，将Brylinski的谱序列推广至非线性、几何化的设定。

ABSTRACT

A Poisson geometry arising from maximal commutative subalgebras is studied. A spectral sequence convergent to Hochschild homology with coefficients in a bimodule is presented. It depends on the choice of a maximal commutative subalgebra inducing appropriate filtrations. Its E^{2}_{p,q}-groups are computed in terms of canonical homology with values in a Poisson module defined by a given bimodule and a maximal commutative subalgebra.

研究动机与目标

• 将Brylinski关于Hochschild同调的谱序列推广至由极大交换子代数滤子化的代数。
• 通过Poisson模的典范复，建立Poisson几何与Hochschild同调之间的联系。
• 定义并研究代数$A$关于极大交换子代数$C$的微分包络$\mathrm{D}^C A$，其成为几乎交换代数。
• 以关联的分次Poisson代数与模的典范Poisson同调表达谱序列的$E^2$-页。
• 证明分次对象$\mathrm{Gr}^C A$自然携带Poisson结构，且$\mathrm{Gr}^C M$具有相容的Poisson模结构。

提出的方法

• 本文通过极大交换子代数$C$在结合代数$A$及其双模$M$上定义滤子，得到几乎交换代数$\mathrm{D}^C A$与几乎对称双模$\mathrm{D}^C M$。
• 在$\mathrm{D}^C A$的Hochschild复上构造一个谱序列，其滤子由滤子中的总次数决定。
• 证明分次代数$\mathrm{Gr}^C A$自然携带Poisson结构，且$\mathrm{Gr}^C M$具有相容的Poisson模结构。
• 利用复$C^{\text{can}}_\bullet(B,N)$，将谱序列的$E^2$-页识别为Poisson代数$\mathrm{Gr}^C A$关于Poisson模$\mathrm{Gr}^C M$的典范同调。
• 典范复中的微分通过Poisson括号定义：$\partial(n \otimes \mathrm{d}b_1 \cdots \mathrm{d}b_k) = \sum (-1)^{i-1} \{n,b_i\} \otimes \widehat{\mathrm{d}b_i} + \sum (-1)^{i+j} n \otimes \mathrm{d}\{b_i,b_j\} \cdots$
• 通过形变$\mathrm{Def}M = \sum_p \mathrm{F}^C_p M \cdot t^p \subset M[t]$推广构造，其在$t=0$时退化为$\mathrm{Gr}^C A$，在$t=1$时退化为$\mathrm{D}^C A$，从而在$\mathrm{Spec} C$上实现一个非线性对合分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过极大交换子代数诱导的滤子计算结合代数的Hochschild同调？
• RQ2 此类滤子的关联分次代数$\mathrm{Gr}^C A$上自然出现何种Poisson几何结构？
• RQ3 典范Poisson同调复与Hochschild同调谱序列的$E^2$-页有何关系？
• RQ4 该谱序列能否推广至光滑代数之外？在此背景下，微分包络$\mathrm{D}^C A$的作用为何？
• RQ5 形变$\mathrm{Def}A$在$t=0$时的几何解释是什么？

主要发现

• 谱序列收敛于Hochschild同调$\mathrm{H}_{p+q}(\mathrm{D}^C A, \mathrm{D}^C M)$，其滤子由$A$的极大交换子代数$C$诱导。
• 当$\mathrm{Gr}^C A$关于$R$光滑时，$E^2$-页同构于典范Poisson同调：$\mathrm{E}^2_{p,q} \cong \mathrm{H}^{\text{can}}_{p+q}(\mathrm{Gr}^C A, \mathrm{Gr}^C M)_p$。
• 分次代数$\mathrm{Gr}^C A$自然携带一个括号为度数$-1$的Poisson结构，使其成为分次Poisson代数。
• 分次双模$\mathrm{Gr}^C M$是$\mathrm{Gr}^C A$上的分次Poisson模，与Poisson结构相容。
• 在$t=0$时，形变$\mathrm{Def}A$实现$\mathrm{Spec} C$上的非线性对合分布，且$\mathrm{Def}M$沿此分布携带平坦联络。
• 在$A = M_n(k)$的情形下，对角子代数$C \cong k^n$导出光滑的$\mathrm{Gr}^C A = C$；而Jordan块子代数$C \cong k[x]/(x^{n+1})$导出$\mathrm{Gr}^C A \cong \text{在} \mathfrak{sl}_2^* \text{中幂零锥的} n\text{阶无穷小邻域上的多项式代数}$，并赋予Kirillov-Kostant-Souriau Poisson结构。