[论文解读] Maximal determinants and saturated D-optimal designs of orders 19 and 37

Richard P. Brent, William P. Orrick+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2011

Optimal Experimental Design Methods参考文献 15被引用 9

一句话总结

该论文通过两步计算方法解决了阶数为19和37的{+1, -1}矩阵的最大行列式问题：首先识别候选Gram矩阵，然后将其分解为有效设计。该研究确认了阶数19的已知设计为最优，并证明了阶数37的最大行列式为$2^{39} \times 3^{36}$，并找到了多个非等价的D-最优设计。

ABSTRACT

A saturated D-optimal design is a {+1,-1} square matrix of given order with maximal determinant. We search for saturated D-optimal designs of orders 19 and 37, and find that known matrices due to Smith, Cohn, Orrick and Solomon are optimal. For order 19 we find all inequivalent saturated D-optimal designs with maximal determinant, 2^30 x 7^2 x 17, and confirm that the three known designs comprise a complete set. For order 37 we prove that the maximal determinant is 2^39 x 3^36, and find a sample of inequivalent saturated D-optimal designs. Our method is an extension of that used by Orrick to resolve the previously smallest unknown order of 15; and by Chadjipantelis, Kounias and Moyssiadis to resolve orders 17 and 21. The method is a two-step computation which first searches for candidate Gram matrices and then attempts to decompose them. Using a similar method, we also find the complete spectrum of determinant values for {+1,-1} matrices of order 13.

研究动机与目标

• 确定阶数19和37的{+1, -1}矩阵的最大行列式，重点关注饱和D-最优设计。
• 确认阶数19的先前已知设计是否确实为最优，并在等价意义下完整。
• 确立阶数37的最大行列式的确切值，该问题此前为开放问题。
• 将最大行列式问题的计算方法扩展至更大的奇数阶，特别是模4余3的阶数。
• 计算阶数13的{+1, -1}矩阵的完整行列式值谱，扩展已知结果。

提出的方法

• 采用两步计算方法：首先搜索满足必要结构和行列式界约束的候选Gram矩阵，然后尝试将矩阵分解为{+1, -1}设计。
• 使用回溯算法执行分解步骤，该方法为自动化处理，此前在该背景下未发表过。
• 应用Ehlich和Barba的理论界以剪枝搜索空间，尤其利用Gram矩阵的块结构。
• 利用奇偶性归一化减少冗余，确保设计表示的唯一性。
• 通过行列式缩放$(-2)^{n-1}$建立{+1, -1}矩阵与{0, 1}矩阵之间的对应关系，以验证结果。
• 将先前用于阶数15（Orrick）及更早阶数（17, 21）的方法推广，以处理阶数19和37，尤其利用Gram矩阵中含3的结构特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 阶数19的{+1, -1}矩阵的最大行列式是否等于$2^{30} \times 7^2 \times 17$，且已知的三个非等价设计是否已全部穷尽？
• RQ2 阶数37的{+1, -1}矩阵的最大行列式的确切值是多少，能否构造出多个非等价的D-最优设计？
• RQ3 用于阶数15的方法能否扩展至解决更高阶的模4余3的奇数阶，如19和37？
• RQ4 阶数13的{+1, -1}矩阵的完整行列式值谱是什么，与更小阶数相比有何差异？
• RQ5 能否使用该方法为尚未解决的阶数（如29, 33, 45, 49, 53, 57）建立更紧的上界？

主要发现

• 阶数19的最大行列式被确认为$2^{30} \times 7^2 \times 17$，所有具有该行列式的非等价饱和D-最优设计均已找到，确认已知集合是完整的。
• 对于阶数37，最大行列式被证明为$2^{39} \times 3^{36}$，解决了此前未解决的案例。
• 构造了阶数37的多个非等价饱和D-最优设计的样本，证明了存在多个非等价解。
• 阶数13的{+1, -1}矩阵的完整行列式值谱已计算得出，将已知谱从阶数11扩展至阶数13。
• 该方法成功解决了模4余3阶中最小的未解决案例，尽管此类阶的Ehlich界较为复杂。
• 为阶数29, 33, 45, 49, 53, 57建立了更紧的上界，缩小了已知上界与下界之间的差距。