[论文解读] Maximal dissipation principle for the complete Euler system

Jan Březina, Eduard Feireisl|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文通过最大化熵产生率 σ，为完整欧拉系统引入了最大耗散测度值（DMV）解，即使在不存在经典解的情况下也能确保物理解的合理性。在一般热力学和本构假设下，利用佐恩引理和DMV框架中的紧致性论证，证明了此类解的存在性。

ABSTRACT

We introduce the concept of maximal dissipative measure-valued solution to the complete Euler system. These are solutions that maximize the entropy production rate. We show that these solutions exist under fairly general hypotheses imposed on the data and constitutive relations.

研究动机与目标

• 为解决多维情况下完整欧拉系统的不适定性问题，即存在无穷多个熵产生率为零的弱解。
• 通过最大化熵产生率 σ（达弗莫斯提出的可接受性条件）来识别物理解的解。
• 将最大耗散概念扩展至测度值解，确保在物理空间中 σ 局部最大化。
• 在初始数据和本构关系的一般假设下，建立最大 DMV 解的存在性，包括多变指数状态方程。
• 提供一个严格框架，用于选择熵产生率最大的解，从而排除非物理的剧烈解。

提出的方法

• 将测度值解定义为弱解序列的极限，以允许集中和振荡效应。
• 将熵产生率 σ 定义为 [0,T]×Ω̅ 上的非负博雷尔测度，表示熵生成的速率。
• 在按 σ1 ≥ σ2 排序的 DMV 解部分有序集中应用佐恩引理，确保极大元的存在。
• 利用 DMV 解空间中的统一估计和紧致性，验证佐恩引理的条件。
• 对熵函数施加热力学稳定性和凹性条件，以确保物理一致性和熵产生率的适定性。
• 考虑多变指数状态方程 p = (γ−1)ϱe（γ > 1），并通过函数 S 推导出熵 s 关于 p/ϱ^γ 的显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般初始数据和本构关系下，能否为完整欧拉系统构造出最大耗散测度值解？
• RQ2 在多维欧拉系统中，是否通过在空间和时间局部最大化熵产生率 σ 可以选择出物理解的解？
• RQ3 能否严格将最大耗散原理扩展至测度值框架，以克服弱解的不适定性？
• RQ4 状态方程和热力学函数需满足何种条件，才能保证此类最大解的存在？
• RQ5 所提出的最大耗散准则与全局熵最大化相比，在排除非物理解方面有何优势？

主要发现

• 在一般初始数据和本构关系（包括多变指数状态方程）下，完整欧拉系统存在最大耗散测度值解。
• 熵产生率 σ 在空间和时间上逐点最大化，确保局部最大化而非仅全局积分最大化。
• 存在性证明依赖于在按 σ 排序的 DMV 解部分有序集中应用佐恩引理，且通过紧致性和统一估计确保极大元的存在。
• 热力学稳定性条件 ∂p/∂ϱ > 0 和 ∂e/∂ϑ > 0 足够保证熵函数的物理一致性和适定性。
• 对于多变指数情形，熵 s 表示为 s(ϱ,e) = S((γ−1)e/ϱ^{γ−1}) = S(p/ϱ^γ)，其中 S' > 0，且在条件 (5.8) 下总熵函数的凹性得以保证。
• 函数 S 的定义域为区间 (p̄, ∞)，其中 p̄ ≥ 0 是当 ϑ → 0 时 p/ϱ^γ 的极限，且 S 可通过归一化使得 lim_{Z→p̄+} S(Z) ∈ {0, −∞}。