[论文解读] Maximal estimates for the bilinear spherical averages and the bilinear Bochner-Riesz operators

Eun-Hee Jeong, Sanghyuk Lee|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 44被引用 6

一句话总结

本文建立了双线性球面极大函数与极大双线性博赫纳-里茨算子的尖锐 $L^p \times L^q \to L^r$ 估计，通过确定最优指数范围，解决了长期悬而未决的公开问题。结果表明，双线性球面极大函数有界当且仅当 $ r > \frac{d}{2d-1} $ 且满足霍尔德条件，对于端点情形，还给出了洛伦茨空间中的弱型估计。

ABSTRACT

We study the maximal estimates for the bilinear spherical average and the bilinear Bochner-Riesz operator. Firstly, we obtain $L^p imes L^q o L^r$ estimates for the bilinear spherical maximal function on the optimal range. Thus, we settle the problem which was previously considered by Geba, Greenleaf, Iosevich, Palsson and Sawyer, later Barrionevo, Grafakos, D. He, Honzík and Oliveira, and recently Heo, Hong and Yang. Secondly, we consider $L^p imes L^q o L^r$ estimates for the maximal bilinear Bochner-Riesz operators and improve the previous known results. For the purpose we draw a connection between the maximal estimates and the square function estimates for the classical Bochner-Riesz operators.

研究动机与目标

• 解决双线性球面极大函数 $L^p \times L^q \to L^r$ 有界性的完整范围表征这一公开问题。
• 通过将极大估计与经典博赫纳-里茨算子的平方函数估计相联系，改进此前关于双线性博赫纳-里茨算子极大估计的结果。
• 在强型估计失效的端点情形，建立洛伦茨空间中的尖锐弱型估计。
• 对双线性球面极大函数提供最优指数范围的完整表征，包括尖锐性结果。

提出的方法

• 通过乘子的分解与表面测度 $d\sigma_{2d-1}$ 的傅里叶变换的渐近展开，建立 $L^p \times L^q \to L^r$ 估计。
• 使用小波分解与插值技术处理 $L^2 \times L^2 \to L^1$ 端点情形。
• 通过建立经典博赫纳-里茨算子的极大估计与平方函数估计之间的联系，推导出双线性情形的估计。
• 利用分部积分与核衰减估计，控制来自 dyadic 分解的误差项。
• 通过使用霍尔德不等式与极大函数有界性，控制极大算子的 $L^r$ 范数。
• 在 $L^2$ 与 $L^\infty$ 估计之间应用插值，推导出依赖于乘子齐次性的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 双线性球面极大函数的 $L^p \times L^q \to L^r$ 有界性的完整范围是什么？
• RQ2 双线性球面极大函数的尖锐端点估计能否在洛伦茨空间中表征？
• RQ3 双线性博赫纳-里茨算子的极大估计与经典博赫纳-里茨算子的平方函数估计之间有何关系？
• RQ4 极大双线性博赫纳-里茨算子的最优指数范围是什么？与先前结果相比如何？
• RQ5 条件 $ r > \frac{d}{2d-1} $ 是否为双线性球面极大函数有界的必要且充分条件？

主要发现

• 双线性球面极大函数 $ \mathcal{M} $ 满足 $ \|\mathcal{M}(f,g)\|_{L^r} \lesssim \|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q} $ 当且仅当 $ r > \frac{d}{2d-1} $ 且 $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r} $，但排除 $ (p,q,r) = (1,\infty,1) $ 与 $ (\infty,1,1) $ 的情形。
• 在端点情形，洛伦茨空间中的弱型估计成立：$ \|\mathcal{M}(f,g)\|_{L^{r,u}} \lesssim \|f\|_{L^{p,s}}\|g\|_{L^{q,t}} $，其中 $ u,s,t $ 满足显式条件。
• 当 $ p = r = 1 $ 时，弱型估计成立，且 $ u = t = \infty $，$ s = 1 $，当 $ p $ 与 $ q $ 互换时亦然。
• 当 $ p = 1 $，$ q = \frac{d}{d-1} $ 时，估计成立，且 $ u = \infty $，$ s = t = 1 $，前提是 $ d \geq 3 $。
• 当 $ 1 < p < \frac{d}{d-1} $，$ r = \frac{d}{2d-1} $ 时，估计成立，且 $ u = \infty $，$ \frac{1}{s} + \frac{1}{t} = \frac{2d-1}{d} $，$ s,t > 0 $。
• 通过将极大估计与经典博赫纳-里茨算子的平方函数估计相联系，证明了极大双线性博赫纳-里茨算子满足改进的 $L^p \times L^q \to L^r$ 估计。