[论文解读] Maximal function characterizations for new local Hardy type spaces on spaces of homogeneous type

Anh Tuan Bui, Xuan Thinh Duong+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文建立了与满足高斯估计的非负自伴算子 𝔏 相关的齐次型空间上新型局部 Hardy 型空间的极大函数刻画。引入了临界函数 ρ，并证明了与 𝔏 和 ρ 相关的局部 Hardy 空间的非切向与径向极大函数刻画，扩展了 Coifman-Weiss 理论，使该理论可应用于流形和幂零李群上的 Schrödinger 算子。

ABSTRACT

Let $X$ be a space of homogeneous type and let $\mathfrak{L}$ be a nonnegative self-adjoint operator on $L^2(X)$ enjoying Gaussian estimates. The main aim of this paper is twofold. Firstly, we prove the (local) nontangential and radial maximal function charaterization for the local Hardy spaces associated to $\mathfrak{L}$. This deduces the maximal function charaterization for local Hardy spaces in the sense of Coifman and Weiss provided that $\mathfrak{L}$ satisfies certain extra conditions. Secondly, we introduce the local Hardy space associated to the critical function $ ho$ which is motivated by the theory of Hardy spaces related to Schrodinger operators and includes the local Hardy spaces of Coifman and Weiss as a special case. Then we prove that these local Hardy spaces can be characterized by the the local nontangential and radial maximal function charaterization related to $\mathfrak{L}$ and $ ho$ and the global maximal function charaterizations associated to `perturbations' of $\mathfrak{L}$. As applications, we apply our theory to obtain a number of new results on maximal characterizations for the local Hardy type spaces in various settings ranging from Shrodinger operators on manifolds to Shrodinger operators on connected and simply connected nilpotent Lie groups.

研究动机与目标

• 在齐次型空间上，为与非负自伴算子 𝔏 相关的局部 Hardy 空间建立非切向与径向极大函数刻画。
• 通过在 𝔏 上附加条件，证明极大函数刻画，从而扩展 Coifman-Weiss 的局部 Hardy 空间理论。
• 引入一种基于临界函数 ρ 的新型局部 Hardy 空间，推广 Coifman-Weiss 框架。
• 通过 𝔏 的扰动，为这些新 Hardy 空间证明全局与局部极大函数刻画。
• 将该理论应用于流形和连通、单连通幂零李群上的 Schrödinger 算子。

提出的方法

• 利用与 𝔏 相关的热核的高斯上界来控制 Hardy 空间设定中函数的增长。
• 通过从算子 𝔏 衍生的临界函数 ρ 定义局部 Hardy 空间，推广 Coifman-Weiss 理论中的经典大小条件。
• 利用适应于空间几何与算子 𝔏 的极大算子，建立非切向与径向极大函数刻画。
• 引入 𝔏 的扰动，以推导全局极大函数刻画，从而关联局部与全局行为。
• 通过 𝔏 的结构与相关热半群，将理论应用于具体几何设定，包括黎曼流形与幂零李群。
• 在齐次型空间的背景下，运用奇异积分与极大函数理论，证明范数的有界性与等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非负自伴算子 𝔏 在齐次型空间上关联的局部 Hardy 空间能否由非切向与径向极大函数刻画？
• RQ2 当 𝔏 满足高斯估计时，Coifman 与 Weiss 的极大函数刻画在何种条件下可扩展至此类算子？
• RQ3 如何利用临界函数 ρ 定义一个广义的局部 Hardy 空间，使其包含 Coifman-Weiss 空间作为特例？
• RQ4 当引入 𝔏 的扰动时，局部与全局极大函数刻画之间存在何种关系？
• RQ5 该理论在多大程度上可应用于流形与幂零李群上的 Schrödinger 算子？

主要发现

• 与临界函数 ρ 相关的局部 Hardy 空间由与算子 𝔏 相关的非切向与径向极大函数刻画。
• 当 𝔏 满足附加条件时，Coifman 与 Weiss 的极大函数刻画得以恢复，从而将他们的理论扩展至更广泛的算子类。
• 通过 𝔏 的扰动，建立了全局极大函数刻画，从而在 Hardy 空间框架中关联了局部与全局行为。
• 该理论可应用于黎曼流形上的 Schrödinger 算子，在该设定下得出新的极大函数刻画。
• 该框架可推广至连通、单连通幂零李群，为这些非紧致、齐次空间中的 Hardy 空间提供极大函数刻画。
• 临界函数 ρ 在定义新 Hardy 空间中函数的大小与衰减性质方面起核心作用，推广了基于经典 Lebesgue 空间的大小条件。