[论文解读] Maximal inequalities and Riesz transform estimates on $L^p$ spaces for Schrödinger operators with nonnegative potentials

Pascal Auscher, Besma Ben Ali|arXiv (Cornell University)|May 2, 2006

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 15被引用 19

一句话总结

该论文在非负电位 $V$ 满足反 Hölder 条件的假设下，为非负电位的 Schrödinger 算子 $-\Delta + V$ 建立了精确的 $L^p$ 最大不等式与 Riesz 变换估计。通过改进 Fefferman-Phong 不等式并利用弱解的反 Hölder 估计，证明了当 $V \in B_q$ 时，不等式 $\|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ 对 $1 < p < 2(q + \varepsilon)$ 成立，其中 $\varepsilon > 0$ 依赖于 $V$ 的 $B_q$ 常数，从而将先前仅限于 $L^2$ 情况的结果推广至一般 $p$-范围。

ABSTRACT

We show various $L^p$ estimates for Schrödinger operators $-Δ+V$ on $\RR^n$ and their square roots. We assume reverse Hölder estimates on the potential, and improve some results of Shen \cite{Sh1}. Our main tools are improved Fefferman-Phong inequalities and reverse Hölder estimates for weak solutions of $-Δ+V$ and their gradients.

研究动机与目标

• 为非负电位 $V$ 的 Schrödinger 算子 $-\Delta + V$ 建立 $L^p$ 最大不等式。
• 将 Riesz 变换估计从 $L^2$ 情况推广至一般 $L^p$ 空间，适用于 $1 < p < \infty$。
• 证明 Schrödinger 算子的平方根在广泛 $p$-范围内控制梯度项与电位项的 $L^p$ 范数。
• 在 $V$ 满足反 Hölder 条件下，刻画算子 $H = -\Delta + V$ 与 $H^{1/2}$ 的 $L^p$-定义域。
• 统一并改进现有在 $B_q$ 条件下关于 Riesz 变换及相关算子 $L^p$ 有界性的结果。

提出的方法

• 利用改进的 Fefferman-Phong 不等式控制解及其梯度的逐点行为。
• 应用方程 $(-\Delta + V)u = 0$ 的弱解及其梯度的反 Hölder 估计。
• 采用复插值技术，将 $L^p$ 估计从 $L^2$ 扩展至其他 $p$-范围。
• 利用 $A_\infty$ 权及其自改善性质，将 $B_q$ 条件扩展至略大的指数。
• 应用定理 5.1，通过 dyadic 分解与弱型估计，证明形如 $\nabla H^{-1}V^{1/2}$ 的算子在 $L^p$ 上有界。
• 依赖热核估计与波动方程的有限传播速度，推导 Lorentz 空间估计，再通过插值得到 $L^p$ 估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $V$ 的条件下，$L^p$ 最大不等式 $\|\Delta u\|_p + \|Vu\|_p \lesssim \|(-\Delta + Vu)\|_p$ 对 $1 < p < \infty$ 成立？
• RQ2 当 $V \in B_q$ 时，Riesz 变换估计 $\|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ 在哪些 $p$ 范围内成立？
• RQ3 是否可以将不等式 $\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p \lesssim \|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p$ 成立的 $p$-范围从 $p=2$ 扩展？
• RQ4 在 $V$ 满足反 Hölder 条件下，算子 $(-\Delta + V)^{1/2}$ 的精确 $L^p$-定义域是什么？
• RQ5 $A_\infty$ 权与反 Hölder 条件的自改善性质如何影响 Riesz 变换 $L^p$-有界性的 $p$-范围？

主要发现

• 当 $V \in B_q$ 且 $q > 1$ 时，不等式 $\|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ 对 $1 < p < 2(q + \varepsilon)$ 成立，其中 $\varepsilon > 0$ 依赖于 $V$ 的 $B_q$ 常数。
• 当 $V \in A_\infty = \bigcup_{q>1} B_q$ 时，估计 $\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_{1,\infty} \lesssim \|\nabla u\|_1 + \|V^{1/2}u\|_1$ 与 $\|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p \lesssim \|\nabla u\|_p + \|V^{1/2}u\|_p$ 对 $1 < p < 2$ 成立。
• 若 $V \in B_q$ 且 $q \geq n/2$，则当 $q < n$ 时，$\|\nabla u\|_p \lesssim \|(-\Delta + V)^{1/2}u\|_p$ 对 $1 < p < q^* + \varepsilon$ 成立；当 $q \geq n$ 时，对 $1 < p < \infty$ 成立，其中 $q^* = \frac{nq}{n-q}$。
• 当 $V \in B_p$ 时，算子 $H = -\Delta + V$ 的 $L^p$-定义域等价于 $W^{2,p}(\mathbb{R}^n) \cap L^p(\mathbb{R}^n, V^p)$，且其范数等价于 $\|u\|_p + \|\Delta u\|_p + \|Vu\|_p$。
• 在 $V \in B_{p/2}$（当 $p > 2$）或 $V \in A_\infty$（当 $p < 2$）的条件下，$H^{1/2}$ 的 $L^p$-定义域被识别为 $W^{1,p}(\mathbb{R}^n) \cap L^p(\mathbb{R}^n, V^{p/2})$，对 $1 < p < \infty$ 成立。
• 当 $V \in B_q$ 时，算子 $\nabla H^{-1}V^{1/2}$ 在 $L^p$ 上有界，$2 < p < q^*$；通过 $B_q$ 条件的自改善性质，可进一步扩展至 $p < q^* + \varepsilon$。