[论文解读] Maximal inequality of Stochastic convolution driven by compensated Poisson random measures in Banach spaces

Jiahui Zhu, Zdzisław Brzeźniak+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 14

一句话总结

本文在满足 q 次幂范数具有有界 Fréchet 导数的条件下，建立了由补偿泊松随机测度驱动的随机卷积在 Banach 空间中的最大不等式。关键结果是对卷积过程的右连左极修改版本的上确界给出了矩界，将先前在 Wiener 驱动情形下的结果推广到了一般 Banach 空间中的跳跃扩散情形，且该空间为鞅类型 p ∈ (1,2]。

ABSTRACT

Let $(E, \| \cdot\|)$ be a Banach space such that, for some $q\geq 2$, the function $x\mapsto \|x\|^q$ is of $C^2$ class and its first and second Fréchet derivatives are bounded by some constant multiples of $(q-1)$-th power of the norm and $(q-2)$-th power of the norm and let $S$ be a $C_0$-semigroup of contraction type on $(E, \| \cdot\|)$. We consider the following stochastic convolution process \begin{align*} u(t)=\int_0^t\int_ZS(t-s)ξ(s,z)\, ilde{N}(\mathrm{d} s,\mathrm{d} z), \;\;\; t\geq 0, \end{align*} where $ ilde{N}$ is a compensated Poisson random measure on a measurable space $(Z,\mathcal{Z})$ and $ξ:[0,\infty) imesΩ imes Z ightarrow E$ is an $\mathbb{F}\otimes \mathcal{Z}$-predictable function. We prove that there exists a càdlàg modification a $ ilde{u}$ of the process $u$ which satisfies the following maximal inequality \begin{align*} \mathbb{E} \sup_{0\leq s\leq t} \| ilde{u}(s)\|^{q^\prime}\leq C\ \mathbb{E} \left(\int_0^t\int_Z \|ξ(s,z) \|^{p}\,N(\mathrm{d} s,\mathrm{d} z) ight)^{\frac{q^\prime}{p}}, \end{align*} for all $ q^\prime \geq q$ and $1

研究动机与目标

• 将最大不等式结果从 Wiener 驱动情形推广到 Banach 空间中的跳跃扩散过程。
• 建立由补偿泊松随机测度驱动的随机卷积过程存在右连左极修改版本的条件。
• 在 Banach 空间及其半群满足光滑性和压缩性假设的前提下，推导该过程上确界的矩界。
• 将先前在希尔伯特空间和 2-光滑 Banach 空间中的结果推广到具有受控范数光滑性的更广泛 Banach 空间类。
• 为在无限维设定下分析具有纯跳跃噪声的随机演化方程提供一个框架。

提出的方法

• 将随机卷积过程定义为 $ C_0 $-压缩半群 $ S(t) $ 对补偿泊松随机测度 $ \tilde{N} $ 的积分。
• 假设 Banach 空间 $ E $ 满足 $ \|x\|^q $ 为 $ C^2 $ 类，且其 Fréchet 导数有界，分别由 $ (q-1) $ 次和 $ (q-2) $ 次幂的范数控制。
• 利用鞅类型 $ p $ 的 Banach 空间（$ p \in (1,2] $）中关于补偿泊松测度的随机积分理论。
• 对 $ \|\tilde{u}(t)\|^{q'} $（$ q' \geq q $）应用 Itô 公式，借助范数的光滑性控制二次变差。
• 通过 Doob 型最大不等式和矩估计推导出最大不等式，得到界 $ \mathbb{E} \sup_{s \leq t} \|\tilde{u}(s)\|^{q'} \leq C \, \mathbb{E} \left( \int_0^t \int_Z \|\xi(s,z)\|^p \, N(ds,dz) \right)^{q'/p} $。
• 在 $ p \in [\sqrt{2}, 2] $ 条件下建立第二个不等式，涉及递增阶数 $ p^k $ 的矩之和，前提是 $ n \geq \lfloor \ln q / \ln p \rfloor $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 Banach 空间 $ E $ 条件下，由补偿泊松测度驱动的随机卷积过程存在右连左极修改版本？
• RQ2 在被积函数可积性条件下，此类卷积过程上确界的最优矩界是什么？
• RQ3 在具有受控范数光滑性的 Banach 空间中，跳跃型噪声的最大不等式如何从希尔伯特空间推广？
• RQ4 当 $ p \in [\sqrt{2}, 2] $ 时，是否可通过递归矩结构对最大不等式进行改进？
• RQ5 范数函数 $ \|x\|^q $ 的光滑性与底层 Banach 空间的鞅类型之间存在何种关系？

主要发现

• 随机卷积过程 $ u(t) = \int_0^t \int_Z S(t-s)\xi(s,z) \, \tilde{N}(ds,dz) $ 存在一个右连左极修改版本 $ \tilde{u} $。
• 对所有 $ q' \geq q $ 和 $ 1 < p \leq 2 $，不等式 $ \mathbb{E} \sup_{0 \leq s \leq t} \|\tilde{u}(s)\|^{q'} \leq C \, \mathbb{E} \left( \int_0^t \int_Z \|\xi(s,z)\|^p \, N(ds,dz) \right)^{q'/p} $ 成立，其中常数 $ C = C(q,p) $ 与 $ \xi $ 无关。
• 满足 $ \|x\|^q $ 光滑性条件的 Banach 空间 $ E $ 对所有 $ p \in (1,2] $ 均为鞅类型 $ p $，从而保证了随机积分的适定性。
• 当 $ p \in [\sqrt{2}, 2] $ 且 $ n \geq \lfloor \ln q / \ln p \rfloor $ 时，不等式 $ \mathbb{E} \sup_{s \leq t} \|\tilde{u}(s)\|^{p^n} \leq C \sum_{k=1}^n \mathbb{E} \left( \int_0^t \int_Z \|\xi(s,z)\|^{p^k} \, \nu(dz) ds \right)^{p^{n-k}} $ 成立。
• 该结果意味着，若右边为有限，则过程 $ u $ 存在一个右连左极版本，从而推广了已知的 Wiener 情形结果。
• 证明依赖于 $ \|x\|^q $ 的一阶导数的全局利普希茨连续性，该性质由 $ \|x\|^q $ 的 Fréchet 导数的假设有界性所推出。