[论文解读] Maximal monotone operators with a unique extension to the bidual

M. Marques Alves, B. F. Svaiter|ArXiv.org|May 29, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 28被引用 17

一句话总结

本文引入了一个新的充分条件，用于判断巴拿哈空间上的极大单调算子在对偶空间中具有唯一极大单调扩张的条件，其中S-函数作为核心分析工具。该条件推广了Gossez的类型D条件，并蕴含一种受限的Brønsted-Rockafellar性质，其关键结果为：若S-函数是有限值，则此类算子的图必为仿射线性图。

ABSTRACT

We present a new sufficient condition under which a maximal monotone operator $T:X os X^*$ admits a unique maximal monotone extension to the bidual $\widetilde T:X^{**} ightrightarrows X^*$. For non-linear operators this condition is equivalent to uniqueness of the extension. The class of maximal monotone operators which satisfy this new condition includes class of Gossez type D maximal monotone operators, previously defined and studied by J.-P. Gossez, and all maximal monotone operators of this new class satisfies a restricted version of Brondsted-Rockafellar condition. The central tool in our approach is the $\mathcal{S}$-function defined and studied by Burachik and Svaiter in 2000 \cite{BuSvSet02}(submission date, July 2000). For a generic operator, this function is the supremum of all convex lower semicontinuous functions which are majorized by the duality product in the graph of the operator. We also prove in this work that if the graph of a maximal monotone operator is convex, then this graph is an affine linear subspace.

研究动机与目标

• 确定在何种条件下，巴拿哈空间上的极大单调算子可唯一地扩展至对偶空间的极大单调算子。
• 通过引入更广泛的算子类，推广Gossez的类型D条件，该条件可保证扩展的唯一性。
• 建立S-函数的有限性与扩展算子图结构（特别是其凸性与线性性）之间的联系。
• 证明满足新条件的算子满足Brønsted-Rockafellar性质的受限版本。
• 证明若极大单调算子的图是凸的，则其必为仿射线性子空间。

提出的方法

• 以S-函数作为核心分析工具，其定义为所有在算子图上被对偶积所控制的凸下半连续函数的上确界。
• 分析S-函数的共轭$(\mathcal{S}_T)^*$，以刻画其有限定义域，从而关联至对偶空间扩展的结构。
• 证明过程中利用算子与其逆算子之间的对偶性，通过映射$\Lambda$保持对偶积，从而实现性质在对偶空间中的传递。
• 关键步骤在于证明：若$(\mathcal{S}_T)^*$在某点有限，则对偶空间中的一段点位于扩展算子逆算子的定义域中，从而蕴含扩展图的单调性与凸性。
• 作者利用如下事实：在乘积空间中，极大单调且凸的集合必为仿射线性集合，若原算子非仿射，则可导出矛盾。
• 唯一性证明依赖于验证扩展算子$\widetilde{T}$的逆算子满足所需不等式且为极大单调，从而证明其为唯一极大单调扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，巴拿哈空间上的极大单调算子可唯一扩展至对偶空间的极大单调算子？
• RQ2 S-函数的有限性如何与扩展算子图的结构相关联？
• RQ3 新条件是否可被证明蕴含Brønsted-Rockafellar性质的受限版本？
• RQ4 当S-函数为有限值时，扩展算子图的结构是否具有可表征的性质？
• RQ5 在对偶空间扩展的背景下，S-函数与对偶积之间存在何种关系？

主要发现

• 本文建立了唯一极大单调扩展至对偶空间的新充分条件，该条件推广了Gossez的类型D条件。
• 所有满足新条件的极大单调算子均满足Brønsted-Rockafellar性质的受限版本。
• 若S-函数在$X^* \times X^{**}$中的某点为有限值，则对偶空间中的一段点位于扩展算子逆算子的定义域中。
• 在新条件下，极大单调扩展$\widetilde{T}$的图被证明为凸且极大单调，因此必为仿射线性图。
• 本文证明：若极大单调算子的图是凸的，则其必为仿射线性子空间，此结果本身即具有结构性意义。
• 唯一扩展$\widetilde{T}$通过S-函数的共轭表征，满足对所有$(x^*,x^{**}) \in X^* \times X^{**}$有$\mathcal{S}_T^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*, x^{**} \rangle$。