[论文解读] Maximal monotonicity, conjugation and the duality product in non-reflexive Banach spaces

M. Marques Alves, B. F. Svaiter|ArXiv.org|Sep 23, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 10被引用 17

一句话总结

本文通过确定在何种条件下，由对偶积有下界的凸函数可表示为极大单调算子，将Fitzpatrick对极大单调算子的表示理论推广至非自反Banach空间。研究证明：若凸的、下确界连续函数 h 满足对所有 (x,x*) ∈ X×X* 有 h(x,x*) ≥ ⟨x,x*⟩ 且 h*(x*,x) ≥ ⟨x,x*⟩，则集合 T = {(x,x*) | h(x,x*) = ⟨x,x*⟩} 是极大单调算子，该结果在满足域正则性条件时，将先前在自反空间中的结果推广至非自反情形。

ABSTRACT

Maximal monotone operators on a Banach space into its dual can be represented by convex functions bounded below by the duality product. It is natural to ask under which conditions a convex function represents a maximal monotone operator. A satisfactory answer, in the context of reflexive Banach spaces, has been obtained some years ago. Recently, a partial result on non-reflexive Banach spaces was obtained. In this work we study some others conditions which guarantee that a convex function represents a maximal monotone operator in non-reflexive Banach spaces.

研究动机与目标

• 将极大单调算子的凸函数表征法从自反空间推广至非自反Banach空间。
• 确定在非自反空间中，X×X* 上的凸函数表示极大单调算子的必要且充分条件。
• 解决关于非自反空间中Fitzpatrick族的最小函数是否对应极大单调算子的开放问题。
• 建立关于 h 的定义域的正则性条件，以确保通过 h 的水平集表示极大单调性。

提出的方法

• 利用Fitzpatrick函数 φ_T 及其共轭，通过凸分析表征极大单调算子。
• 应用Fenchel-Legendre共轭及对偶积 π(x,x*) = ⟨x,x*⟩，定义由 π 有下界的函数类。
• 引入变换 J: h ↦ h*，该变换将Fitzpatrick族 F_T 映射至自身，保持表示性质。
• 施加域正则性条件：对所有 λ>0，λ·Pr_X(D(h)) 的并集是 X 的闭子空间，以确保子水平集的闭性。
• 运用Fenchel-Young不等式及下确界卷积技术，推导 h 与其共轭之间的对偶关系。
• 利用 h 的epigraph的闭性及子水平集的弱*-闭性，建立所诱导算子的极大性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非自反Banach空间中，X×X* 上的凸函数 h 满足何种条件时，集合 T = {(x,x*) | h(x,x*) = ⟨x,x*⟩} 定义一个极大单调算子？
• RQ2 在不需更强条件 h*(x*,x**) ≥ ⟨x*,x**⟩（x** ∈ X**）的前提下，能否将Fitzpatrick函数对极大单调性的表征推广至非自反Banach空间？
• RQ3 在非自反空间中，所有有下界于对偶积的凸函数族中的最小元素 g 是否必为某个极大单调算子的Fitzpatrick函数？
• RQ4 关于 h 的定义域的何种正则性条件可确保子水平集 {(x,x*) | h(x,x*) = ⟨x,x*⟩} 为极大单调？

主要发现

• 在非自反Banach空间中，若 X×X* 上的凸、下确界连续函数 h 满足对所有 (x,x*) ∈ X×X* 有 h(x,x*) ≥ ⟨x,x*⟩ 且 h*(x*,x) ≥ ⟨x,x*⟩，则由 T = {(x,x*) | h(x,x*) = ⟨x,x*⟩} 定义的算子 T 为极大单调算子。
• Fitzpatrick函数 φ_T 是族 F_T 中最小的函数，且变换 J 保持 F_T 中的成员关系，因此若 h 为下确界连续函数，则 h ∈ F_T。
• 本文证明：若 g 是有下界于对偶积的凸函数族中的最小元素，且对所有 λ>0，λ·Pr_X(D(g)) 的并集是 X 的闭子空间，则 g = φ_T 对某个极大单调算子 T 成立。
• 域正则性条件确保 h 的子水平集在强拓扑下闭，这对非自反空间中的极大性至关重要。
• 本文部分解决了Martínez-Legaz与Svaiter提出的开放问题，表明在域正则性条件下，对偶有界凸函数族中的最小函数即为Fitzpatrick函数。
• 该结果将Burachik与Svaiter的定理1.2从自反空间推广至非自反空间，将更强的条件 h*(x*,x**) ≥ ⟨x*,x**⟩ 替换为较弱的 h*(x*,x) ≥ ⟨x,x*⟩ 及一个域正则性假设。