[论文解读] Maximal representations of complex hyperbolic lattices in SU(m,n)

Maria Beatrice Pozzetti|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 29被引用 5

一句话总结

该论文通过利用 isotropic 子空间的几何刚性与 tube-type 域，证明了当 1 < m < n 时，从 SU(1,p) 到 SU(m,n) 的复双曲格子不存在 Zariski 稠密的最大表示。关键结果表明，此类表示必须通过 SU(1,p) 因子分解，从而在非酉性签名群中证明了像的超刚性。

ABSTRACT

Let $Γ$ denote a lattice in $SU(1,p)$, with $p$ greater than 1. We show that there exists no Zariski dense maximal representation with target $SU(m,n)$ if $n&gt;m&gt;1$. The proof is geometric and is based on the study of the rigidity properties of the geometry whose points are isotropic $m$-subspaces of a complex vector space $V$ endowed with a Hermitian metric $h$ of signature $(m,n)$ and whose lines correspond to the $2m$ dimensional subspaces of $V$ on which the restriction of $h$ has signature $(m,m)$.

研究动机与目标

• 研究非酉性签名群 SU(m,n) 中复双曲格子的 Zariski 稠密最大表示的存在性。
• 确定此类表示是否可延拓至全空间群 SU(1,p)，以解决关于超刚性的猜想。
• 利用几何与代数约束，对最大表示进入 SU(m,n) 的 Zariski 闭包结构进行分类。
• 在非退化假设下，建立 Zariski 闭包中 tube-type 因子被禁止的结论，从而得出结构定理。

提出的方法

• 分析复向量空间中具有 Hermitian 度量签名 (m,n) 的 isotropic m-子空间与 (m,m)-签名子空间的几何结构。
• 应用有界上同调与 Toledo 不变量的刚性结果，以表征最大表示。
• 利用 tight 嵌入与全纯等变映射的概念，约束可能的像群。
• 采用 Hermitian 李群之间最大表示的分类方法及中心化子的结构。
• 应用定理 2.4 与定理 2.5，将 Zariski 闭包分解为半单与紧致因子。
• 对线性表示施加非退化条件，以排除虚拟 SU(1,1) 因子并强制 SU(1,p) 结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 1 < m < n 时，SU(1,p) 中格子的 Zariski 稠密最大表示是否存在于 SU(m,n) 中？
• RQ2 此类表示是否可延拓为全空间群 SU(1,p) 的表示？
• RQ3 最大表示进入 SU(m,n) 的 Zariski 闭包结构为何？
• RQ4 在非退化条件下，此类表示的 Zariski 闭包中 tube-type 因子是否可能？
• RQ5 当像不包含于真子群时，标准嵌入是否为唯一可能的最大表示？

主要发现

• 当 1 < m < n 时，SU(1,p) 中格子不存在 Zariski 稠密最大表示进入 SU(m,n)。
• 任何进入 SU(m,n) 的 Zariski 稠密最大表示必须通过 SU(1,p) 的表示因子分解，从而在本情况下证明了超刚性。
• 像的 Zariski 闭包分解为 SU(1,p) × Lt × K，其中 Lt 是不含 SU(1,1) 因子的 tube-type Hermitian 李群，K 为紧致群。
• Zariski 闭包的包含关系被实现为对 SU(1,p)^{m-k} × SU(k,k) × K 的对角嵌入，且在 SU(k,k) 中为 tight 嵌入。
• 若 Zariski 闭包包含非平凡 tube-type 因子，则标准表示不具有局部刚性，与对角嵌入结构矛盾。
• 广义 Toledo 不变量在连通分支上为常数，意味着若 tube-type 因子为平凡，则附近表示必与标准表示共轭。